\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Fonctions convexes}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Fonctions convexes} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q01}
    Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle
est-elle définie au programme ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sa courbe est en dessous de chacune de ses sécantes
(cordes) sur l'intervalle}
    \wrongchoice{Sa courbe est au-dessus de ses sécantes}
    \wrongchoice{La fonction est croissante}
    \wrongchoice{La fonction est positive}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée seconde
$f''(x) = 6x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $[0\,;\,+\infty[$, car $f''(x) \geq 0$ y est vérifié}
    \wrongchoice{Sur $\mathbb{R}$ tout entier}
    \wrongchoice{Sur $]-\infty\,;\,0]$}
    \wrongchoice{Nulle part, car $f$ change de signe}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q03}
    Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de $f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un point où la courbe change de convexité (la tangente y
traverse la courbe)}
    \wrongchoice{Un point où la fonction atteint un extremum}
    \wrongchoice{Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses}
    \wrongchoice{Un point où la tangente est verticale}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q04}
    La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. Quelle
lecture de convexité est correcte ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{Concave sur $]-\infty\,;\,0]$, convexe sur
$[0\,;\,+\infty[$, inflexion à l'origine}
    \wrongchoice{Convexe sur $]-\infty\,;\,0]$, concave sur
$[0\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Convexe partout, car la courbe monte à la fin}
    \wrongchoice{Points d'inflexion en $-1$ et $1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $f$ dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Comment
la courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au-dessus de chacune de ses tangentes}
    \wrongchoice{En dessous de ses tangentes}
    \wrongchoice{Elle traverse chaque tangente}
    \wrongchoice{Cela dépend du signe de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q06}
    Parmi ces fonctions, laquelle est \textbf{concave} sur son
ensemble de définition ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto \ln x$}
    \wrongchoice{$x \mapsto e^x$}
    \wrongchoice{$x \mapsto x^2$}
    \wrongchoice{$x \mapsto x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $f$ dérivable sur $I$. Quelle propriété de $f'$
caractérise la convexité de $f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'$ est croissante sur $I$}
    \wrongchoice{$f'$ est positive sur $I$}
    \wrongchoice{$f'$ est constante sur $I$}
    \wrongchoice{$f'$ s'annule au milieu de $I$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En
quelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{En $x = 2$ : $f''$ s'y annule en changeant de signe}
    \wrongchoice{En $x = 12$}
    \wrongchoice{En $x = 0$, car $f(0) = 0$}
    \wrongchoice{Il n'y en a pas, car $f''$ s'annule}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q09}
    La production $f(t)$ d'une usine croît, mais de moins en
moins vite. Comment cela se traduit-il sur $f'$ et $f''$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f' > 0$ et $f'' < 0$ : croissante et concave}
    \wrongchoice{$f' > 0$ et $f'' > 0$}
    \wrongchoice{$f' < 0$ et $f'' < 0$}
    \wrongchoice{$f' > 0$ et $f'' = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q10}
    Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie
$(0\,;\,0)$ à $(1\,;\,1)$ : en abscisse la part cumulée de
la population, en ordonnée la part cumulée des richesses.
Quelles sont ses propriétés mathématiques ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Croissante et convexe, sous la bissectrice $y = x$}
    \wrongchoice{Décroissante et concave}
    \wrongchoice{Croissante et au-dessus de la bissectrice}
    \wrongchoice{Périodique}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q11}
    Soit $f$ convexe sur $[0\,;\,4]$, avec $f(0) = 1$ et
$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(2) \leq 5$ : la courbe est sous la corde, qui vaut
$5$ au milieu}
    \wrongchoice{$f(2) = 5$ exactement}
    \wrongchoice{$f(2) \geq 5$}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire sur $f(2)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $f$ deux fois dérivable avec, en $x = a$ : $f(a) > 0$,
$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$. Comment la courbe se
comporte-t-elle près de $a$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe
(la descente freine)}
    \wrongchoice{Sous l'axe, en montée}
    \wrongchoice{Au sommet d'une bosse}
    \wrongchoice{En un point d'inflexion}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}
  \insertgroup{mathscomplementairesfonctionsconvexesmc}
}

\end{document}
