\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Fonctions : continuité, limites, logarithme}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Fonctions : continuité, limites, logarithme} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q01}
    Intuitivement, que signifie « $f$ est continue sur un
intervalle » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sa courbe se trace sur cet intervalle sans lever le
crayon}
    \wrongchoice{Sa courbe est une droite}
    \wrongchoice{La fonction est croissante}
    \wrongchoice{La fonction est positive}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$,
avec $f(0) = -3$ et $f(4) = 9$. Que peut-on dire de
l'équation $f(x) = 5$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle admet une unique solution dans $[0\,;\,4]$}
    \wrongchoice{Elle admet au moins deux solutions}
    \wrongchoice{Elle n'admet aucune solution, car $5 \neq f(0)$ et
$5 \neq f(4)$}
    \wrongchoice{La solution est $x = 5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q03}
    On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Que
peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe
en $+\infty$}
    \wrongchoice{La droite $x = 2$ est asymptote verticale}
    \wrongchoice{La courbe coupe l'axe des ordonnées en $2$}
    \wrongchoice{La fonction est constante égale à $2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q04}
    Comment la fonction $\ln$ est-elle définie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Comme la fonction réciproque de l'exponentielle :
$\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$ (pour $x > 0$)}
    \wrongchoice{Comme la dérivée de l'exponentielle}
    \wrongchoice{Comme l'inverse : $\ln(x) = \dfrac{1}{e^x}$}
    \wrongchoice{Comme la primitive de l'exponentielle}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q05}
    Pour $a, b > 0$, que vaut $\ln(a \times b)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln a + \ln b$}
    \wrongchoice{$\ln a \times \ln b$}
    \wrongchoice{$\ln(a + b)$}
    \wrongchoice{$\ln a - \ln b$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q06}
    Quelle est la dérivée de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \ln x$}
    \wrongchoice{$x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto e^x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q07}
    On cherche le plus petit entier $n$ tel que
$0{,}8^n < 0{,}1$. En utilisant $\ln(0{,}8^n) = n\ln(0{,}8)$
(avec $\ln 0{,}8 \approx -0{,}223$ et
$\ln 0{,}1 \approx -2{,}303$), que trouve-t-on ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$n = 11$, car l'inéquation équivaut à $n > \dfrac{\ln
0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$}
    \wrongchoice{$n = 10$, car $10{,}3$ s'arrondit à $10$}
    \wrongchoice{$n = 11$, mais sans renverser l'inégalité}
    \wrongchoice{Aucun $n$ ne convient : une puissance reste positive}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q08}
    Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$g'(x) = 3\,e^{3x + 1}$}
    \wrongchoice{$g'(x) = e^{3x + 1}$}
    \wrongchoice{$g'(x) = (3x + 1)\,e^{3x}$}
    \wrongchoice{$g'(x) = 3\,e^{3x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q09}
    Quelle est la dérivée de $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$}
    \wrongchoice{$h'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$}
    \wrongchoice{$h'(x) = \ln(2x)$}
    \wrongchoice{$h'(x) = \dfrac{2x}{\ln(x^2 + 1)}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q10}
    Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = \dfrac{\ln 10}{2}$}
    \wrongchoice{$x = \ln 5$}
    \wrongchoice{$x = \dfrac{10}{2e}$}
    \wrongchoice{$x = \ln 10 - 2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q11}
    Quelles sont les limites de $\ln x$ en $0^+$ et en
$+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$}
    \wrongchoice{$0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$}
    \wrongchoice{$-\infty$ en $0^+$ et $e$ en $+\infty$}
    \wrongchoice{Elles n'existent pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q12}
    Une fonction continue $f$ décroît de $8$ à $-1$ sur
$[0\,;\,3]$ puis croît de $-1$ à $2$ sur $[3\,;\,6]$.
Combien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions sur
$[0\,;\,6]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Deux : une sur chaque branche de monotonie}
    \wrongchoice{Une seule}
    \wrongchoice{Aucune}
    \wrongchoice{Trois}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q13}
    Que valent $\ln 1$ et $\ln e$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$}
    \wrongchoice{$\ln 1 = 1$ et $\ln e = e$}
    \wrongchoice{$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 0$}
    \wrongchoice{$\ln 1$ n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q14}
    Comment s'écrit $\ln 6$ en fonction de $\ln 2$ et
$\ln 3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$}
    \wrongchoice{$\ln 6 = \ln 2 \times \ln 3$}
    \wrongchoice{$\ln 6 = \ln(2 + 3) + \ln 1$}
    \wrongchoice{$\ln 6 = 2\ln 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q15}
    Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Pour $0 < x < 1$}
    \wrongchoice{Pour $x < 0$}
    \wrongchoice{Jamais : un logarithme est positif}
    \wrongchoice{Pour $x < e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q16}
    Comment s'écrit $\ln 16$ en fonction de $\ln 2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln 16 = 4\ln 2$}
    \wrongchoice{$\ln 16 = (\ln 2)^4$}
    \wrongchoice{$\ln 16 = 8\ln 2$}
    \wrongchoice{$\ln 16 = \ln 2 + 14$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q17}
    Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(3 - x)$ est-elle
définie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$]-\infty\ ;\ 3[$}
    \wrongchoice{$]3\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$]0\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$]-\infty\ ;\ 3]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q18}
    Quel est l'ensemble des solutions de $\ln x \geq 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$[e\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$[1\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$[0\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$]0\ ;\ e]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q19}
    Que vaut $e^{\ln 5}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{$\ln 5$}
    \wrongchoice{$e \times 5$}
    \wrongchoice{$e^5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q20}
    Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = \ln 7$}
    \wrongchoice{$x = \dfrac{7}{e}$}
    \wrongchoice{$x = 7 - e$}
    \wrongchoice{Aucune solution : $7$ n'est pas une puissance de $e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q21}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur $]0\ ;\
+\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \ln x + 1$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \ln x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q22}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$ : le logarithme croît infiniment plus lentement que
$x$}
    \wrongchoice{$+\infty$ : le numérateur tend vers l'infini}
    \wrongchoice{$1$ : deux infinis s'équilibrent}
    \wrongchoice{La limite n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q23}
    Quelle est la solution de $\ln(2x) = \ln(x + 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 3$ (et le domaine $x > 0$ est respecté)}
    \wrongchoice{$x = -3$}
    \wrongchoice{$x = 1$}
    \wrongchoice{Aucune : deux logarithmes différents ne sont jamais
égaux}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}{
  \begin{question}{q24}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x$, et que dire de la
courbe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale}
    \wrongchoice{$0$ : le logarithme s'annule au bord}
    \wrongchoice{$-1$}
    \wrongchoice{La limite n'existe pas car $\ln 0$ n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}
  \insertgroup{mathscomplementairesfonctionslimiteslogarithme}
}

\end{document}
