\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\title{Intégration}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Intégration} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q01}
    Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$, que
représente $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{L'aire, en unités d'aire, entre la courbe, l'axe des
abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$}
    \wrongchoice{La variation $f(b) - f(a)$}
    \wrongchoice{La pente moyenne de la courbe}
    \wrongchoice{Le maximum de $f$ sur $[a\,;\,b]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q02}
    Que vaut $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$8$}
    \wrongchoice{$4$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q03}
    Sachant $\displaystyle\int_0^3 f = 7$ et
$\displaystyle\int_3^8 f = 5$, que vaut
$\displaystyle\int_0^8 f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$12$}
    \wrongchoice{$35$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans connaître $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q04}
    La vitesse d'un véhicule sur l'intervalle $[0\,;\,2]$
(heures) vérifie $\displaystyle\int_0^2 v(t)\,dt = 150$
(kilomètres). Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$75$ km/h}
    \wrongchoice{$150$ km/h}
    \wrongchoice{$300$ km/h}
    \wrongchoice{$75$ km}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q05}
    Pour approcher $\displaystyle\int_0^1 f$ avec $f$
\textbf{croissante}, on somme les aires de rectangles dont la
hauteur est prise au bord \textbf{gauche} de chaque subdivision.
Cette approximation est :
    \begin{choices}
    \correctchoice{Inférieure ou égale à l'intégrale}
    \wrongchoice{Supérieure ou égale à l'intégrale}
    \wrongchoice{Exactement égale à l'intégrale}
    \wrongchoice{Tantôt au-dessus, tantôt en dessous}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $f$ continue et \textbf{négative} sur $[0\,;\,4]$, le
domaine entre sa courbe et l'axe ayant une aire de $6$
unités. Que vaut $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-6$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{Impossible : une intégrale est toujours positive}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q07}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e - 1$}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e + 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ et $F(x) =
\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Que dit le théorème du
programme sur $F$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F$ est dérivable et $F' = f$}
    \wrongchoice{$F$ est constante}
    \wrongchoice{$F = f$}
    \wrongchoice{$F' = f'$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q09}
    Sur $[0\,;\,2]$, on a $f(x) \geq g(x)$. Comment se calcule
l'aire du domaine compris entre les deux courbes ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - g(x)\right) dx$}
    \wrongchoice{$\displaystyle\int_0^2 f + \int_0^2 g$}
    \wrongchoice{$\displaystyle\int_0^2 f \times \int_0^2 g$}
    \wrongchoice{$\displaystyle\int_0^2 g - \int_0^2 f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q10}
    Une fonction continue vérifie $2 \leq f(x) \leq 8$ sur
$[0\,;\,5]$. Que peut-on dire de sa valeur moyenne $\mu$ sur
cet intervalle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2 \leq \mu \leq 8$}
    \wrongchoice{$\mu = 5$ exactement}
    \wrongchoice{$10 \leq \mu \leq 40$}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q11}
    Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
$f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses. Quelle est son
aire ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\x,{4-\x*\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;
  \draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);
  \draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{4-\x*\x});
  \node[blue,font=\small] at (3,2.4) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{32}{3}$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$16$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$\dfrac{16}{3}$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$0$ : les deux moitiés se compensent}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q12}
    Pour estimer l'aire sous une courbe dans le carré unité, on
tire $10\,000$ points au hasard dans le carré et on compte
la proportion de points situés \textbf{sous} la courbe. Pourquoi
cette méthode fonctionne-t-elle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La proportion de points sous la courbe approche le
rapport des aires (loi des grands nombres)}
    \wrongchoice{Les points tirés se placent d'eux-mêmes sous la courbe}
    \wrongchoice{La méthode donne l'aire exacte dès $100$ points}
    \wrongchoice{Elle ne fonctionne que pour des aires rectangulaires}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q13}
    Que vaut $\displaystyle\int_1^4 5\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$15$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$20$}
    \wrongchoice{$\dfrac{15}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q14}
    Sachant $\displaystyle\int_0^2 f = 7$, que vaut
$\displaystyle\int_2^0 f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-7$}
    \wrongchoice{$7$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{7}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q15}
    On donne $\displaystyle\int_0^1 f = 4$ et
$\displaystyle\int_0^1 g = -2$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^1 (3f + g)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10$}
    \wrongchoice{$14$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q16}
    $f$ est continue et \textbf{positive} sur $[0\ ;\ 3]$. Que
peut-on dire de $\displaystyle\int_0^3 f(t)\,dt$ sans la
calculer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est positive ou nulle}
    \wrongchoice{Elle est strictement positive}
    \wrongchoice{Rien : il faut calculer}
    \wrongchoice{Elle vaut exactement l'aire du rectangle $3 \times
\max f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q17}
    Sur $[0\ ;\ 4]$, on sait que $2 \leq f(t) \leq 5$. Quel
encadrement de $\displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt$ en
découle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$8 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 20$}
    \wrongchoice{$2 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 5$}
    \wrongchoice{$0 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 4$}
    \wrongchoice{Aucun : il faut l'expression exacte de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesintegrationmc}{
  \begin{question}{q18}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1 - \dfrac{1}{e}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{e} - 1$}
    \wrongchoice{$e - 1$}
    \wrongchoice{$-e^{-1}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairesintegrationmc}
  \insertgroup{mathscomplementairesintegrationmc}
}

\end{document}
