\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Lois à densité}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Lois à densité} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q01}
    Quelles conditions une fonction $f$ doit-elle remplir pour
être une densité de probabilité sur un intervalle $I$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Être positive sur $I$, et l'aire totale sous sa courbe
sur $I$ doit valoir $1$}
    \wrongchoice{Être croissante et valoir $1$ à droite}
    \wrongchoice{Être comprise entre $0$ et $1$}
    \wrongchoice{Être continue et impaire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q02}
    La figure montre la densité de la loi uniforme sur
$[0\,;\,2]$ (hauteur $0{,}5$) ; la zone colorée s'étend de
$0{,}5$ à $1{,}5$. Que vaut
$P(0{,}5 \leq X \leq 1{,}5)$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.6,yscale=2.4]
  \fill[blue!20] (0.5,0) rectangle (1.5,0.5);
  \draw[->] (-0.5,0) -- (2.7,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.12) -- (0,0.85) node[above left] {$y$};
  \draw[thick,blue] (0,0.5) -- (2,0.5);
  \draw[thick,blue] (-0.4,0) -- (0,0);
  \draw[thick,blue] (2,0) -- (2.6,0);
  \draw[dashed,blue] (0,0) -- (0,0.5);
  \draw[dashed,blue] (2,0) -- (2,0.5);
  \node[left,font=\small] at (-0.03,0.5) {$0{,}5$};
  \foreach \x in {0.5,1,1.5,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.02) {$\x$};
  \draw (0.5,0.01) -- (0.5,-0.01);
  \draw (1.5,0.01) -- (1.5,-0.01);
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}5$ : l'aire du rectangle de largeur $1$ et de
hauteur $0{,}5$}
    \wrongchoice{$1$ : la largeur de la zone}
    \wrongchoice{$0{,}25$}
    \wrongchoice{$0{,}75$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q03}
    Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle
$[2\,;\,7]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(x) = \dfrac{1}{5}$ sur $[2\,;\,7]$, nulle ailleurs}
    \wrongchoice{$f(x) = \dfrac{1}{7}$ sur $[2\,;\,7]$}
    \wrongchoice{$f(x) = 5$ sur $[2\,;\,7]$}
    \wrongchoice{$f(x) = x - 2$ sur $[2\,;\,7]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q04}
    Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente
$X$ d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme
sur $[0\,;\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$ minutes}
    \wrongchoice{$10$ minutes}
    \wrongchoice{$0$ minute}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{10}$ de minute}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q05}
    Pour une variable à densité $X$, que représente la fonction
de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{L'aire cumulée sous la densité jusqu'à $x$ : une
fonction croissante de $0$ vers $1$}
    \wrongchoice{La hauteur de la densité en $x$}
    \wrongchoice{La probabilité que $X = x$ exactement}
    \wrongchoice{L'espérance de $X$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $X$ une variable suivant une loi à densité. Que vaut
$P(X = 3)$ (la probabilité d'une valeur exacte) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$ : une aire de largeur nulle}
    \wrongchoice{$f(3)$, la valeur de la densité}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{Cela dépend de la loi}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q07}
    Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre
$\lambda > 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$}
    \wrongchoice{$f(t) = e^{\lambda t}$ pour $t \geq 0$}
    \wrongchoice{$f(t) = \lambda$ pour $t \geq 0$}
    \wrongchoice{$f(t) = e^{-t^2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q08}
    La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}1$ (par millier d'heures). Quelle
est sa durée de vie moyenne ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{\lambda} = 10$ milliers d'heures}
    \wrongchoice{$0{,}1$ millier d'heures}
    \wrongchoice{$\lambda^2 = 0{,}01$}
    \wrongchoice{Elle est infinie, car $t$ peut être arbitrairement grand}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q09}
    La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.
Il fonctionne déjà depuis $5$ ans. Que dire de sa durée de
vie \textbf{restante} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle suit la même loi exponentielle qu'un composant
neuf : le composant ne vieillit pas}
    \wrongchoice{Elle est plus courte : il a déjà consommé une partie de
sa vie}
    \wrongchoice{Elle est plus longue : il a prouvé sa robustesse}
    \wrongchoice{Elle devient certaine et égale à $\dfrac{1}{\lambda}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q10}
    Pour une variable $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$,
comment s'exprime l'espérance $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$E(X) = \displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx$}
    \wrongchoice{$E(X) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$}
    \wrongchoice{$E(X) = f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$}
    \wrongchoice{$E(X) = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q11}
    En Python, \texttt{random()} renvoie un réel de loi uniforme sur
$[0\,;\,1[$. Comment simuler une variable uniforme sur
$[3\,;\,8]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{\texttt{3 + 5 * random()}}
    \wrongchoice{\texttt{random(3, 8)}}
    \wrongchoice{\texttt{3 * random() + 8}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(3, 8)}}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q12}
    Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi
\textbf{exponentielle} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Le temps d'attente entre deux appels indépendants à un
standard téléphonique}
    \wrongchoice{La position d'un point choisi au hasard sur un segment}
    \wrongchoice{Le nombre de succès en $20$ tirages avec remise}
    \wrongchoice{Le résultat d'un lancer de dé}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q13}
    $X$ suit la loi uniforme sur $[0\ ;\ 10]$. Que vaut
$P(X \leq 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q14}
    Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de
probabilité ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$ : la certitude entière}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{Cela dépend de la loi}
    \wrongchoice{L'espérance de la variable}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q15}
    $X$ suit la loi uniforme sur $[2\ ;\ 8]$. Que vaut
$P(3 \leq X \leq 5)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{5}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{5}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q16}
    $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Que
vaut $P(X \leq t)$ pour $t \geq 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1 - e^{-\lambda t}$}
    \wrongchoice{$e^{-\lambda t}$}
    \wrongchoice{$\lambda e^{-\lambda t}$}
    \wrongchoice{$\lambda t$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q17}
    La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}5$ (par année). Quelle est sa durée
de vie moyenne ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2$ ans : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$}
    \wrongchoice{$0{,}5$ an}
    \wrongchoice{$\lambda^2 = 0{,}25$ an}
    \wrongchoice{$e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ an}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisadensite}{
  \begin{question}{q18}
    Avec $\lambda = 0{,}5$, quelle est la probabilité que le
composant fonctionne encore après $4$ ans ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P(X > 4) = e^{-2} \approx 0{,}135$}
    \wrongchoice{$1 - e^{-2} \approx 0{,}865$}
    \wrongchoice{$e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$}
    \wrongchoice{$0$ : c'est le double de la durée moyenne}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairesloisadensite}
  \insertgroup{mathscomplementairesloisadensite}
}

\end{document}
