\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Lois discrètes}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Lois discrètes} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q01}
    On lance un dé équilibré à $6$ faces : le résultat $X$ suit
la loi uniforme sur $\{1, \ldots, 6\}$. Que vaut $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3{,}5$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q02}
    $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$
($X = 1$ en cas de succès, $0$ sinon). Que valent $E(X)$ et
$V(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}16$}
    \wrongchoice{$E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 0{,}25$}
    \wrongchoice{$E(X) = 1$ et $V(X) = 0$}
    \wrongchoice{$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q03}
    La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1\ ;\,4\ ;\,6\ ;
\,4\ ;\,1$. Que vaut le coefficient binomial
$\dbinom{5}{2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10$, en additionnant $4 + 6$ (relation de Pascal)}
    \wrongchoice{$24$, en multipliant $4 \times 6$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q04}
    On tire $10$ fois \textbf{avec remise} une boule dans une urne
contenant $30\ \%$ de boules rouges, et on compte le nombre
$X$ de rouges. Quelle est la loi de $X$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$}
    \wrongchoice{La loi uniforme sur $\{0, \ldots, 10\}$}
    \wrongchoice{La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$}
    \wrongchoice{La loi géométrique de paramètre $0{,}3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ (quatre lancers d'une
pièce équilibrée). Que vaut $P(X = 2)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^4 = \dfrac{6}{16} = 0{,}375$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \wrongchoice{$0{,}25$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{16}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}25)$. Que valent
$E(X)$ et $\sigma(X)$ (admis au programme) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$E(X) = 25$ et $\sigma(X) = \sqrt{18{,}75} \approx
4{,}33$}
    \wrongchoice{$E(X) = 25$ et $\sigma(X) = 18{,}75$}
    \wrongchoice{$E(X) = 50$ et $\sigma(X) = 5$}
    \wrongchoice{$E(X) = 0{,}25$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q07}
    On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ jusqu'au
premier succès ; $X$ est le rang de ce premier succès. Que
vaut $P(X = k)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(1 - p)^{k-1}\,p$}
    \wrongchoice{$p^k$}
    \wrongchoice{$\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{k}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q08}
    On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$. Combien de
lancers faut-il \textbf{en moyenne} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$ lancers, car $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{1/6}$}
    \wrongchoice{$3{,}5$ lancers}
    \wrongchoice{$1$ lancer}
    \wrongchoice{$36$ lancers}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q09}
    On a déjà lancé le dé $10$ fois sans obtenir de $6$. Quelle
est la probabilité d'obtenir enfin un $6$ au prochain
lancer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{6}$, comme à chaque lancer : le dé n'a pas de
mémoire}
    \wrongchoice{Plus de $\dfrac{1}{6}$ : le $6$ « doit » sortir}
    \wrongchoice{Moins de $\dfrac{1}{6}$ : ce dé semble défavorable}
    \wrongchoice{$\dfrac{10}{6}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q10}
    $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}5$
(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut
$P(X = 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}5^2 \times 0{,}5 = 0{,}125$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$0{,}375$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q11}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}5)$ (une pièce testée
sur $50$ lancers). La calculatrice donne
$P(18 \leq X \leq 32) \approx 0{,}967$. Comment interpréter
ce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Si la pièce est équilibrée, le nombre de piles tombe
dans $[18\,;\,32]$ dans environ $97\ \%$ des cas ; un
résultat hors de cet intervalle rend le modèle suspect}
    \wrongchoice{La pièce est équilibrée avec probabilité $0{,}967$}
    \wrongchoice{Il sortira exactement entre $18$ et $32$ piles, garanti}
    \wrongchoice{Ce calcul ne sert à rien sans la liste des lancers}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q12}
    Trois variables : $A$ = numéro obtenu en tirant une carte
parmi $10$ numérotées de $1$ à $10$ ; $B$ = nombre de
clients qui achètent parmi $20$ visiteurs indépendants
(chacun achète avec probabilité $0{,}1$) ; $C$ = rang du
premier appel décroché par un standard qui décroche avec
probabilité $0{,}6$ à chaque appel. Quelles lois ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$A$ : uniforme sur $\{1, \ldots, 10\}$ ; $B$ :
binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1)$ ; $C$ :
géométrique de paramètre $0{,}6$}
    \wrongchoice{$A$ : binomiale ; $B$ : géométrique ; $C$ : uniforme}
    \wrongchoice{Les trois suivent des lois binomiales}
    \wrongchoice{$A$ : uniforme ; $B$ : géométrique ; $C$ : binomiale}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q13}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Que vaut $P(X = 0)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}7^4 \approx 0{,}24$}
    \wrongchoice{$0{,}3^4$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$1 - 0{,}3 = 0{,}7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q14}
    $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (un dé
équilibré). Que vaut $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3{,}5$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6}$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q15}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Comment calculer $P(X \geq 1)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7^4 \approx 0{,}76$}
    \wrongchoice{$P(X = 1) = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3$}
    \wrongchoice{$4 \times 0{,}3 = 1{,}2$}
    \wrongchoice{$0{,}3^4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q16}
    $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (rang du
premier succès). Que vaut $P(X > n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(1 - p)^n$ : les $n$ premiers essais sont tous des
échecs}
    \wrongchoice{$p^n$}
    \wrongchoice{$1 - p^n$}
    \wrongchoice{$n(1 - p)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q17}
    Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$. En
moyenne, combien de tirs faut-il pour obtenir le premier
succès ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$ tirs : $E(X) = \dfrac{1}{p}$}
    \wrongchoice{$0{,}2$ tir}
    \wrongchoice{$2$ tirs}
    \wrongchoice{Impossible à prévoir : l'attente est aléatoire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesloisdiscretes}{
  \begin{question}{q18}
    Expérience A : « je lance $10$ fléchettes et je compte les
réussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes
jusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».
Quelles lois ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{A : binomiale (nombre d'essais fixé) ; B : géométrique
(rang du premier succès)}
    \wrongchoice{A : géométrique ; B : binomiale}
    \wrongchoice{Les deux sont binomiales}
    \wrongchoice{Les deux sont géométriques}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairesloisdiscretes}
  \insertgroup{mathscomplementairesloisdiscretes}
}

\end{document}
