\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Primitives et équations différentielles}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Primitives et équations différentielles} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q01}
    La fonction $f(x) = 5\,e^{2x}$ est-elle solution de
l'équation différentielle $y' = 2y$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $f'(x) = 10\,e^{2x} = 2 \times 5\,e^{2x} =
2\,f(x)$}
    \wrongchoice{Non, car $f(0) = 5 \neq 2$}
    \wrongchoice{Non, car il y a un $5$ en facteur}
    \wrongchoice{On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q02}
    Chercher une primitive de $f$ revient à résoudre quelle
équation différentielle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y' = f$}
    \wrongchoice{$y' = y$}
    \wrongchoice{$y = f'$}
    \wrongchoice{$y' = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q03}
    $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur
$\mathbb{R}$. Quelles sont \textbf{toutes} les primitives de $f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les fonctions $x \mapsto x^2 + C$, $C$ constante réelle}
    \wrongchoice{La seule fonction $x \mapsto x^2$}
    \wrongchoice{Les fonctions $x \mapsto Cx^2$}
    \wrongchoice{Les fonctions $x \mapsto x^2 + Cx$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q04}
    Quelle est une primitive de $f(x) = 2 \times 3 \times
(3x + 1)$, c'est-à-dire $f = 2u'u$ avec $u(x) = 3x + 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = (3x + 1)^2$}
    \wrongchoice{$F(x) = (3x + 1)^3$}
    \wrongchoice{$F(x) = 6x^2 + 2x$? Développons : $f(x) = 18x + 6$, de
primitive $9x^2 + 6x$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2(3x + 1)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q05}
    Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = e^{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^2\,e^{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2x}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2\,e^{x^2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q06}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \ln(x^2 + 1)$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2x\,\ln(x^2 + 1)$}
    \wrongchoice{$F(x) = \ln(2x)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q07}
    Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = -0{,}5\,y$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les fonctions $y = C\,e^{-0{,}5x}$, $C$ réel}
    \wrongchoice{Les fonctions $y = C\,e^{0{,}5x}$}
    \wrongchoice{La seule fonction $y = e^{-0{,}5x}$}
    \wrongchoice{Les fonctions $y = -0{,}5x + C$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q08}
    Quelles sont les solutions de l'équation $y' = -2y + 8$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = C\,e^{-2x} + 4$}
    \wrongchoice{$y = C\,e^{-2x} + 8$}
    \wrongchoice{$y = C\,e^{2x} + 4$}
    \wrongchoice{$y = -2x + 8$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q09}
    Parmi les solutions $y = C\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,
laquelle vérifie $y(0) = 10$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = 6\,e^{-2x} + 4$}
    \wrongchoice{$y = 10\,e^{-2x} + 4$}
    \wrongchoice{$y = 10\,e^{-2x}$}
    \wrongchoice{$y = 6\,e^{-2x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q10}
    Dans un modèle de refroidissement $T' = -0{,}1\,(T - 20)$
(température $T$ en degrés, temps en minutes), que
représente la constante $20$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La température ambiante, état d'équilibre vers lequel
$T$ tend}
    \wrongchoice{La température initiale de l'objet}
    \wrongchoice{La vitesse de refroidissement}
    \wrongchoice{Une constante d'intégration}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q11}
    Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant
$F(1) = 5$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = x^3 + 4$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^3 + 5$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^3$}
    \wrongchoice{$F(x) = 5x^3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q12}
    Une population croît à une vitesse \textbf{proportionnelle à son
effectif} $y(t)$, avec un taux de $4\ \%$ par unité de
temps. Quelle équation différentielle modélise cette
situation ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y' = 0{,}04\,y$}
    \wrongchoice{$y' = 0{,}04$}
    \wrongchoice{$y = 0{,}04\,t$}
    \wrongchoice{$y' = y + 0{,}04$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q13}
    Quelle est une primitive de $f(x) = x^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2x$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^3$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^2}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q14}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \ln x$}
    \wrongchoice{$F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^0}{0}$}
    \wrongchoice{$F(x) = e^x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q15}
    Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2e^{2x}$}
    \wrongchoice{$F(x) = e^{2x}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q16}
    Quelles sont toutes les solutions de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y(x) = C\,e^{3x}$, pour une constante $C$ quelconque}
    \wrongchoice{$y(x) = e^{3x}$ uniquement}
    \wrongchoice{$y(x) = 3x + C$}
    \wrongchoice{$y(x) = C\,e^{x} + 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q17}
    Quelle est la solution de $y' = -0{,}5\,y + 10$ vérifiant
$y(0) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)$}
    \wrongchoice{$y(t) = 20\,e^{-0{,}5t}$}
    \wrongchoice{$y(t) = 10\,t$}
    \wrongchoice{$y(t) = -20\,e^{-0{,}5t}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}{
  \begin{question}{q18}
    Pour l'équation $y' = -0{,}5\,y + 10$, que deviennent
toutes les solutions quand $t \to +\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elles convergent toutes vers l'équilibre $20$, quel que
soit leur point de départ}
    \wrongchoice{Elles divergent vers $+\infty$}
    \wrongchoice{Elles tendent vers $0$}
    \wrongchoice{Cela dépend du point de départ}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
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  \insertgroup{mathscomplementairesprimitivesequationsdifferentiellesmc}
}

\end{document}
