\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Statistique à deux variables quantitatives}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Statistique à deux variables quantitatives} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q01}
    Un nuage a pour points $(0\,;\,3)$, $(2\,;\,5)$,
$(4\,;\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen
$G$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$G(2\,;\,6)$}
    \wrongchoice{$G(6\,;\,18)$}
    \wrongchoice{$G(2\,;\,5)$}
    \wrongchoice{$G(4\,;\,10)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q02}
    Que minimise la droite de régression des moindres carrés
parmi toutes les droites du plan ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La somme des carrés des écarts \textbf{verticaux} entre les
points du nuage et la droite}
    \wrongchoice{Le nombre de points situés au-dessus de la droite}
    \wrongchoice{La longueur de la droite}
    \wrongchoice{La distance entre le premier et le dernier point}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q03}
    La calculatrice fournit la droite de régression
$y = 2{,}4x + 10$ pour un nuage (valeurs de $x$ observées
entre $0$ et $20$). Quelle estimation de $y$ pour
$x = 15$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$46$}
    \wrongchoice{$36$}
    \wrongchoice{$25$}
    \wrongchoice{Aucune estimation possible pour une valeur non observée}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q04}
    Pour un nuage de points, la calculatrice affiche un
coefficient de corrélation $r = -0{,}98$. Comment
l'interpréter ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un lien affine très fort et \textbf{décroissant} : le nuage
est presque aligné sur une droite qui descend}
    \wrongchoice{Une erreur de calcul : un coefficient est toujours
positif}
    \wrongchoice{Un lien très faible, car $r$ est négatif}
    \wrongchoice{$98\ \%$ des points sont sous la droite}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q05}
    Deux études donnent $r_1 = 0{,}99$ et $r_2 = 0{,}30$. Que
peut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement
affine ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Très pertinent pour la première, douteux pour la
seconde}
    \wrongchoice{Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs}
    \wrongchoice{Aucun des deux : seul $r = 1$ exactement autorise
l'ajustement}
    \wrongchoice{Le second est meilleur, car plus proche de $0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q06}
    Un nuage $(x_i\,;\,y_i)$ suit une tendance exponentielle
$y = k\,a^x$. Quel changement de variable ramène à un
ajustement \textbf{affine} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Poser $z = \ln y$ : alors $z = \ln k + x\ln a$, affine
en $x$}
    \wrongchoice{Poser $z = y^2$}
    \wrongchoice{Poser $z = \dfrac{1}{y}$}
    \wrongchoice{Aucun : un nuage courbé ne s'ajuste jamais}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q07}
    Une droite de régression ajuste très bien ($r = 0{,}99$) la
température moyenne d'un lieu selon l'année, observée de
$2000$ à $2020$. Peut-on l'utiliser pour prédire la
température en $2100$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Avec de grandes réserves : c'est une extrapolation très
loin des données, la tendance peut changer}
    \wrongchoice{Oui, sans réserve : $r = 0{,}99$ garantit la prédiction}
    \wrongchoice{Non : une droite de régression ne sert jamais à prédire}
    \wrongchoice{Oui, si on utilise plus de décimales}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q08}
    Un nuage a pour point moyen $G(4\,;\,11)$ et la droite des
moindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de
cette droite ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = 2x + 3$}
    \wrongchoice{$y = 2x + 11$}
    \wrongchoice{$y = 2x - 3$}
    \wrongchoice{On ne peut pas conclure sans tous les points}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q09}
    Sur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre
de cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés
($r = 0{,}9$). Peut-on conclure que les médecins provoquent
la maladie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : la taille de la population des communes explique
vraisemblablement les deux variables}
    \wrongchoice{Oui : $r = 0{,}9$ est une preuve causale forte}
    \wrongchoice{Oui, si la droite de régression est croissante}
    \wrongchoice{Non : les corrélations n'ont jamais aucun sens}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q10}
    Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne
$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut l'écart (résidu) entre la
valeur observée et la valeur prédite ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$25 - 22 = 3$ : le point est au-dessus de la droite}
    \wrongchoice{$0$ : la droite passe par tous les points}
    \wrongchoice{$25 - 5 = 20$}
    \wrongchoice{$-3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q11}
    Comment obtient-on en pratique la droite de régression d'une
série de données (au programme) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Par la calculatrice, un tableur ou Python, qui renvoient
pente et ordonnée à l'origine}
    \wrongchoice{En reliant le premier et le dernier point du nuage}
    \wrongchoice{En traçant à main levée, seule méthode admise}
    \wrongchoice{Il faut connaître par cœur les formules de $a$ et $b$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q12}
    Quel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série
de données à deux variables ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Représenter le nuage, choisir la forme du modèle
(affine ou à linéariser), calculer l'ajustement et $r$,
puis interpréter et prédire avec prudence}
    \wrongchoice{Calculer $r$ d'abord, et ne tracer le nuage que si $r$
est faible}
    \wrongchoice{Prédire d'abord, ajuster ensuite}
    \wrongchoice{Supprimer les points gênants, puis ajuster}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q13}
    Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient
de corrélation $r = -0{,}95$. Comment l'interpréter ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude
monte, la température descend}
    \wrongchoice{Lien très faible, car le coefficient est négatif}
    \wrongchoice{Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être
négatif}
    \wrongchoice{L'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q14}
    Un nuage de points donne $r = 0{,}05$. Que peut-on en
conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Pas de lien \textbf{linéaire} entre les variables (mais un
lien courbe reste possible)}
    \wrongchoice{Aucun lien d'aucune sorte entre les variables}
    \wrongchoice{Un lien faible mais croissant}
    \wrongchoice{Les données sont fausses}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q15}
    La droite de régression vaut $y = 2x + 1$. Quelle valeur le
modèle prévoit-il pour $x = 7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = 15$}
    \wrongchoice{$y = 9$}
    \wrongchoice{$y = 14$}
    \wrongchoice{Impossible : il faut la valeur observée en $x = 7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q16}
    Quel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de
corrélation $r$ et la droite de régression ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$r$ et la pente de la droite ont toujours le même signe}
    \wrongchoice{Ils sont toujours de signes opposés}
    \wrongchoice{Aucun lien : $r$ et la droite sont indépendants}
    \wrongchoice{$r$ est le carré de la pente}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q17}
    Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, mais on
observe $y = 14$. Que vaut le résidu (observé moins prédit),
et que signifie son signe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-1$ : le point observé est \textbf{en dessous} de la droite}
    \wrongchoice{$+1$ : le point est au-dessus}
    \wrongchoice{$29$ : la somme des deux valeurs}
    \wrongchoice{$0$ : le modèle est bon donc l'écart est nul}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}{
  \begin{question}{q18}
    Que signifie un coefficient de corrélation égal à $-1$
exactement ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite
décroissante}
    \wrongchoice{Les variables n'ont aucun lien}
    \wrongchoice{Il y a forcément une erreur : $r$ ne peut pas atteindre
$-1$}
    \wrongchoice{La moitié des points est au-dessus de la droite}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}
  \insertgroup{mathscomplementairesstatistiquedeuxvariables}
}

\end{document}
