\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\title{Suites numériques, modèles discrets}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Suites numériques, modèles discrets} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q01}
    Que vaut la limite de $0{,}7^n$ quand $n$ tend vers
$+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q02}
    Pour $0 < q < 1$, que vaut la limite de la somme
$1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{1 - q}$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{q - 1}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q03}
    Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$.
Quelle suite \textbf{constante} vérifie cette relation ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La suite constante égale à $20$}
    \wrongchoice{La suite constante égale à $4$}
    \wrongchoice{La suite constante égale à $5$}
    \wrongchoice{Aucune suite constante ne convient}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q04}
    Toujours avec $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$ (point d'équilibre
$20$) et $u_0 = 30$. Que vaut la limite de $(u_n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$20$ : l'écart au point d'équilibre est multiplié par
$0{,}8$ à chaque rang et fond vers $0$}
    \wrongchoice{$30$ : la suite reste à sa valeur initiale}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q05}
    Une suite vérifie, pour tout $n \geq 1$,
$3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}$.
Que peut-on conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(u_n)$ converge vers $3$}
    \wrongchoice{$(u_n)$ est constante égale à $3$}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire sans connaître $u_n$ explicitement}
    \wrongchoice{$(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{n}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q06}
    Un compte rapporte $2\ \%$ par an et reçoit un versement de
$100$ euros chaque fin d'année. Notant $u_n$ le solde après
$n$ années, quelle récurrence modélise la situation ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100$}
    \wrongchoice{$u_{n+1} = u_n + 102$}
    \wrongchoice{$u_{n+1} = 1{,}02\,(u_n + 100)$? Non : les intérêts de
l'année ne portent pas sur le versement de fin d'année}
    \wrongchoice{$u_{n+1} = 0{,}02\,u_n + 100$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q07}
    Soient $u_n \to 5$ et $v_n \to 0{,}5$. Que vaut la limite de
$\dfrac{u_n}{v_n}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10$}
    \wrongchoice{$2{,}5$}
    \wrongchoice{$5{,}5$}
    \wrongchoice{On ne peut pas conclure}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut
$u_2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10$}
    \wrongchoice{$8$}
    \wrongchoice{$7$}
    \wrongchoice{$16$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q09}
    La valeur d'un équipement est divisée par $2$ chaque année :
$u_n = 1000 \times 0{,}5^n$ (en euros). À partir de quel rang
$n$ la valeur passe-t-elle sous $10$ euros ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$n = 7$}
    \wrongchoice{$n = 100$}
    \wrongchoice{$n = 6$}
    \wrongchoice{$n = 10$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q10}
    Pour représenter graphiquement une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
et conjecturer son comportement, on trace la courbe de $f$
et une autre droite. Laquelle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La droite d'équation $y = x$}
    \wrongchoice{L'axe des abscisses}
    \wrongchoice{La droite $y = f(0)$}
    \wrongchoice{La tangente à la courbe en $u_0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q11}
    Chaque année, $3\ \%$ des noyaux d'un échantillon se
désintègrent. Avec $N_0$ noyaux au départ, quel modèle
discret décrit $N_n$ (nombre de noyaux après $n$ années) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$N_n = N_0 \times 0{,}97^n$ : suite géométrique de raison
$0{,}97$}
    \wrongchoice{$N_n = N_0 - 0{,}03\,n$}
    \wrongchoice{$N_n = N_0 \times 0{,}03^n$}
    \wrongchoice{$N_n = N_0 \times 1{,}03^n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q12}
    Trois suites géométriques ont pour raisons respectives
$0{,}9$ ; $1$ ; $1{,}1$ (premiers termes strictement
positifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Vers $0$ pour $0{,}9$ ; constante pour $1$ ; vers
$+\infty$ pour $1{,}1$}
    \wrongchoice{Les trois convergent, plus ou moins vite}
    \wrongchoice{Les trois tendent vers leur raison}
    \wrongchoice{Impossible à dire sans les premiers termes}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q13}
    Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison
$r = 3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$ : chaque pas ajoute $3$, sans plafond}
    \wrongchoice{$3$ : la raison}
    \wrongchoice{$u_0$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q14}
    Pour $q \neq 1$, que vaut la somme $1 + q + q^2 + \dots +
q^n$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}$}
    \wrongchoice{$(n + 1)\,q$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q15}
    Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$. Quelle est la
valeur d'équilibre (suite constante solution) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$250$, solution de $\ell = 0{,}8\,\ell + 50$}
    \wrongchoice{$50$}
    \wrongchoice{$62{,}5$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q16}
    Que vaut $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 - 3 \times
0{,}7^n\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q17}
    Pour $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$ (équilibre $250$), on pose
$v_n = u_n - 250$. Que devient la suite $(v_n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Géométrique de raison $0{,}8$ : $v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$}
    \wrongchoice{Arithmétique de raison $50$}
    \wrongchoice{Constante égale à $250$}
    \wrongchoice{De même nature que $(u_n)$ : rien ne change}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}{
  \begin{question}{q18}
    Une population de poissons suit $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$
(en centaines, $50$ = alevins introduits chaque année).
Comment interpréter la convergence vers $250$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La population se stabilise vers $25\,000$ poissons :
pertes et repeuplement finissent par s'équilibrer}
    \wrongchoice{La population disparaît à terme}
    \wrongchoice{La population explose : on ajoute des poissons chaque
année}
    \wrongchoice{La population oscille sans se stabiliser}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}
  \insertgroup{mathscomplementairessuitesmodelesdiscrets}
}

\end{document}
