\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q01}
    Que signifie « $a$ divise $b$ » (noté $a \mid b$) pour deux
entiers relatifs ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Il existe un entier $k$ tel que $b = ka$}
    \wrongchoice{$\dfrac{a}{b}$ est un entier}
    \wrongchoice{$a < b$}
    \wrongchoice{$a$ et $b$ ont le même signe}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q02}
    Quelle est la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-17 = 5 \times (-4) + 3$, quotient $-4$ et reste $3$}
    \wrongchoice{$-17 = 5 \times (-3) - 2$, quotient $-3$ et reste $-2$}
    \wrongchoice{$-17 = 5 \times (-3) + 2$, quotient $-3$ et reste $2$}
    \wrongchoice{Impossible : la division euclidienne exige des entiers
positifs}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q03}
    Que signifie $a \equiv b \pmod n$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$n$ divise $a - b$}
    \wrongchoice{$a = b$}
    \wrongchoice{$a$ divise $b$}
    \wrongchoice{$a$ et $b$ sont premiers avec $n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q04}
    Sachant $10 \equiv 1 \pmod 9$, que vaut $10^{2026}
\pmod 9$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10^{2026} \equiv 1 \pmod 9$}
    \wrongchoice{$10^{2026} \equiv 2026 \pmod 9$}
    \wrongchoice{$10^{2026} \equiv 0 \pmod 9$}
    \wrongchoice{Impossible sans calculer $10^{2026}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q05}
    On calcule $\text{PGCD}(252\ ;\ 105)$ par l'algorithme
d'Euclide : $252 = 105 \times 2 + 42$, puis $105 = 42 \times
2 + 21$, puis $42 = 21 \times 2 + 0$. Quel est le PGCD ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$21$ : le dernier reste non nul}
    \wrongchoice{$42$ : le premier reste}
    \wrongchoice{$0$ : le dernier reste}
    \wrongchoice{$2$ : le quotient répété}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q06}
    Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers $a$ et $b$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il
existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$}
    \wrongchoice{Pour tous entiers $a$ et $b$, il existe $u$ et $v$ tels
que $au + bv = 1$}
    \wrongchoice{Si $a \mid bc$ et $a$ premier avec $b$, alors $a \mid c$}
    \wrongchoice{Tout entier $\geq 2$ se décompose en produit de facteurs
premiers}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q07}
    On sait que $7 \mid 3n$ pour un entier $n$. Que peut-on
conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$7 \mid n$, car $7$ est premier avec $3$}
    \wrongchoice{$7 \mid 3$}
    \wrongchoice{$n = 7$}
    \wrongchoice{Rien : il faudrait connaître $n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q08}
    L'équation $3x + 5y = 1$ admet la solution particulière
$(x_0\ ;\ y_0) = (2\ ;\ -1)$. Quelles sont toutes les
solutions entières ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 2 + 5k$, $y = -1 - 3k$, pour $k \in \mathbb{Z}$}
    \wrongchoice{$(2\ ;\ -1)$ est la seule solution}
    \wrongchoice{$x = 2 + 3k$, $y = -1 - 5k$, pour $k \in \mathbb{Z}$}
    \wrongchoice{Aucune : $3$ et $5$ ne divisent pas $1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q09}
    Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Il est infini (démonstration d'Euclide)}
    \wrongchoice{Il est fini : le plus grand premier est connu}
    \wrongchoice{Tous les nombres premiers sont impairs}
    \wrongchoice{Un produit de deux premiers est premier}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q10}
    Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$}
    \wrongchoice{$360 = 2^2 \times 3^2 \times 10$}
    \wrongchoice{$360 = 2^3 \times 45$}
    \wrongchoice{$360 = 6 \times 60$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q11}
    $p = 7$ est premier et $a = 3$ n'est pas divisible par $7$.
Que donne le petit théorème de Fermat ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3^6 \equiv 1 \pmod 7$}
    \wrongchoice{$3^7 \equiv 1 \pmod 7$}
    \wrongchoice{$3^6 \equiv 0 \pmod 7$}
    \wrongchoice{$6^3 \equiv 1 \pmod 7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q12}
    Quel est l'inverse de $3$ modulo $7$, c'est-à-dire l'entier
$x \in \{1, \dots, 6\}$ tel que $3x \equiv 1 \pmod 7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 5$}
    \wrongchoice{$x = 4$}
    \wrongchoice{$x = \dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{Il n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q13}
    Le nombre $741$ est-il divisible par $3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui : la somme de ses chiffres, $7 + 4 + 1 = 12$, est
divisible par $3$}
    \wrongchoice{Non : il est impair}
    \wrongchoice{Non : il ne se termine pas par $3$, $6$ ou $9$}
    \wrongchoice{Impossible à savoir sans poser la division}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q14}
    Quels sont le quotient et le reste de la division
euclidienne de $47$ par $6$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$47 = 6 \times 7 + 5$ : quotient $7$, reste $5$}
    \wrongchoice{Quotient $8$, reste $-1$}
    \wrongchoice{Quotient $7$, reste $6$}
    \wrongchoice{Quotient $5$, reste $7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q15}
    Que peut-on dire de $n$ et $n + 1$ pour tout entier $n$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Ils sont toujours premiers entre eux}
    \wrongchoice{Ils ont toujours un facteur commun}
    \wrongchoice{L'un des deux est toujours premier}
    \wrongchoice{Leur PGCD est $n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q16}
    Quel est le dernier chiffre de $7^4$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$ : car $7^2 = 49 \equiv 9$, puis $7^4 \equiv 9^2 =
81 \equiv 1 \pmod{10}$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$7$}
    \wrongchoice{$4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q17}
    Sachant $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$, combien $360$
a-t-il de diviseurs positifs ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$}
    \wrongchoice{$3 \times 2 \times 1 = 6$}
    \wrongchoice{$3 + 2 + 1 = 6$}
    \wrongchoice{$360 \div 2 = 180$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q18}
    Sachant $\text{PGCD}(252\ ;\ 105) = 21$, quelle est la
forme irréductible de $\dfrac{252}{105}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{12}{5}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{84}{35}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{5}{12}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{21}{5}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q19}
    Pour vérifier que $97$ est premier, quels diviseurs
suffit-il de tester ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les premiers $2, 3, 5, 7$ : tous ceux qui ne dépassent
pas $\sqrt{97} \approx 9{,}8$}
    \wrongchoice{Tous les entiers de $2$ à $96$}
    \wrongchoice{Seulement $2$ et $3$}
    \wrongchoice{Les nombres pairs uniquement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q20}
    Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans $100$ jours ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Mercredi : $100 \equiv 2 \pmod 7$, donc deux jours après
lundi}
    \wrongchoice{Lundi : $100$ est un compte rond}
    \wrongchoice{Vendredi}
    \wrongchoice{Impossible sans calendrier}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q21}
    Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2$ : car $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ et $100 = 3 \times
33 + 1$}
    \wrongchoice{$0$ : une puissance aussi grande est divisible par tout}
    \wrongchoice{$4$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q22}
    Quelles sont les solutions de la congruence $5x \equiv 3
\pmod 7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \equiv 2 \pmod 7$ : on multiplie par $3$, inverse de
$5$ modulo $7$}
    \wrongchoice{$x = \dfrac{3}{5}$}
    \wrongchoice{Aucune solution : $5$ ne divise pas $3$}
    \wrongchoice{$x \equiv 3 \pmod 7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q23}
    Comment démontrer proprement : « si $n^2$ est pair, alors
$n$ est pair » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Par contraposée : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ donne
$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, impair}
    \wrongchoice{En vérifiant pour $n = 2, 4, 6$}
    \wrongchoice{C'est faux : $n^2$ pair n'impose rien à $n$}
    \wrongchoice{En divisant $n^2$ par $n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesarithmetique}{
  \begin{question}{q24}
    L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ où $r$ est le
reste de $a$ par $b$. Pourquoi est-elle vraie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Parce que $a = bq + r$ : les diviseurs communs de
$(a\ ;\ b)$ et de $(b\ ;\ r)$ sont exactement les mêmes}
    \wrongchoice{Parce que $r$ est toujours plus petit que $b$}
    \wrongchoice{Parce que le PGCD est toujours le dernier reste}
    \wrongchoice{C'est une convention posée sans démonstration}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathsexpertesarithmetique}
  \insertgroup{mathsexpertesarithmetique}
}

\end{document}
