\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q01}
    Dans le plan complexe, quel point est l'image du nombre
$z = -2 + 3i$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3)$}
    \wrongchoice{Le point de coordonnées $(3\ ;\ -2)$}
    \wrongchoice{Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3i)$}
    \wrongchoice{Le point de coordonnées $(2\ ;\ 3)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q02}
    Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$|z| = 5$}
    \wrongchoice{$|z| = -1$}
    \wrongchoice{$|z| = 25$}
    \wrongchoice{$|z| = 7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q03}
    Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre
complexe $z$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$|z|^2 = z\,\bar{z}$}
    \wrongchoice{$|z| = z\,\bar{z}$}
    \wrongchoice{$|z|^2 = z^2$}
    \wrongchoice{$|z|^2 = z + \bar{z}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q04}
    Soient $z$ et $z'$ deux complexes avec $|z| = 2$ et
$|z'| = 3$. Que vaut $|z\,z'|$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{Impossible à déterminer sans connaître $z$ et $z'$}
    \wrongchoice{$36$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q05}
    $\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de
module $1$. Pourquoi dit-on que $\mathbb{U}$ est stable par
produit ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Si $|z| = |z'| = 1$, alors $|z\,z'| = 1 \times 1 = 1$ :
le produit reste dans $\mathbb{U}$}
    \wrongchoice{Parce que la somme de deux éléments de $\mathbb{U}$
reste dans $\mathbb{U}$}
    \wrongchoice{Parce que $\mathbb{U}$ contient tous les nombres réels}
    \wrongchoice{Parce que tout produit de complexes est de module $1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q06}
    Le point $M$ ci-contre a pour affixe $z = 1 + i$. Que valent
$|z|$ et un argument de $z$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.6]
  \draw[->] (-0.6,0) -- (2,0) node[below] {$\mathrm{Re}$};
  \draw[->] (0,-0.6) -- (0,2) node[left] {$\mathrm{Im}$};
  \draw[dashed] (1,0) -- (1,1);
  \draw[dashed] (0,1) -- (1,1);
  \draw[->, thick] (0,0) -- (1,1);
  \fill (1,1) circle (1.2pt) node[above right] {$M$};
  \draw (0.45,0) arc (0:45:0.45);
  \node[font=\small] at (0.72,0.26) {$\frac{\pi}{4}$};
  \node[below,font=\small] at (1,0) {$1$};
  \node[left,font=\small] at (0,1) {$1$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$}
    \wrongchoice{$|z| = 2$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$}
    \wrongchoice{$|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$}
    \wrongchoice{$|z| = 1$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q07}
    Quelle est la forme algébrique du nombre
$z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = 1 + i\sqrt{3}$}
    \wrongchoice{$z = \sqrt{3} + i$}
    \wrongchoice{$z = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}
    \wrongchoice{$z = 2 + i\dfrac{2\pi}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q08}
    Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$}
    \wrongchoice{$z = e^{i\pi/4}$}
    \wrongchoice{$z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/2}$}
    \wrongchoice{$z = 2\,e^{i\pi/4}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q09}
    Que vaut le produit $3e^{i\pi/6} \times 2e^{i\pi/3}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6\,e^{i\pi/2} = 6i$}
    \wrongchoice{$6\,e^{i\pi^2/18}$}
    \wrongchoice{$5\,e^{i\pi/2}$}
    \wrongchoice{$6\,e^{i\pi/6 \times i\pi/3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q10}
    Quelle est l'expression de $\cos\theta$ donnée par les
formules d'Euler ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$}
    \wrongchoice{$\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$}
    \wrongchoice{$\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$}
    \wrongchoice{$\cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q11}
    Que dit la formule de Moivre ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
i\sin(n\theta)$}
    \wrongchoice{$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(\theta^n) +
i\sin(\theta^n)$}
    \wrongchoice{$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = n\cos\theta +
in\sin\theta$}
    \wrongchoice{$\cos(n\theta) = n\cos\theta$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q12}
    En écrivant $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, que vaut
$(1 + i)^8$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$16$}
    \wrongchoice{$-16$}
    \wrongchoice{$16\,i$}
    \wrongchoice{$8\sqrt{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q13}
    Que vaut $e^{i\pi}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-1$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$i$}
    \wrongchoice{$e^{\pi} \approx 23$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q14}
    Avec $|z| = 6$ et $|z'| = 2$, que vaut
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$4$}
    \wrongchoice{$12$}
    \wrongchoice{Impossible sans connaître les arguments}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q15}
    Quel est un argument de $z = -5$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\pi$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$-5$}
    \wrongchoice{Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q16}
    Comment module et argument de $\bar{z}$ se comparent-ils à
ceux de $z$ (non nul) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$|\bar{z}| = |z|$ et $\arg\bar{z} = -\arg z$}
    \wrongchoice{$|\bar{z}| = -|z|$}
    \wrongchoice{Module et argument sont tous deux conservés}
    \wrongchoice{$\arg\bar{z} = \pi - \arg z$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q17}
    $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 +
6i$. Que vaut la distance $AB$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| = 5$}
    \wrongchoice{$AB = |z_B| - |z_A|$}
    \wrongchoice{$AB = z_B - z_A = 3 + 4i$}
    \wrongchoice{$AB = |z_A + z_B|$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}{
  \begin{question}{q18}
    Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = \sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}$}
    \wrongchoice{$z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$}
    \wrongchoice{$z = 2\,e^{3i\pi/4}$}
    \wrongchoice{$z = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}
  \insertgroup{mathsexpertescomplexesgeometrietrigonometrie}
}

\end{document}
