\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Équations polynomiales et racines de l'unité}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Équations polynomiales et racines de l'unité} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q01}
    Quelles sont les solutions complexes de l'équation
$z^2 + 4 = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = 2i$ et $z = -2i$}
    \wrongchoice{$z = 2$ et $z = -2$}
    \wrongchoice{Aucune : l'équation n'a pas de solution}
    \wrongchoice{$z = 2i$ seulement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q02}
    Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$}
    \wrongchoice{$z = 1 + 4i$ et $z = 1 - 4i$}
    \wrongchoice{$z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$}
    \wrongchoice{Pas de solution car $\Delta = -16 < 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q03}
    Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines
de $z^2 - 6z + 13 = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Somme $= 6$, produit $= 13$}
    \wrongchoice{Somme $= -6$, produit $= 13$}
    \wrongchoice{Somme $= 6$, produit $= -13$}
    \wrongchoice{Impossible sans calculer les racines}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q04}
    Soit $P(z) = z^3 - 1$. On sait que $P(1) = 0$. Quelle
factorisation est correcte ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$}
    \wrongchoice{$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + 1)$}
    \wrongchoice{$z^3 - 1 = (z - 1)^3$}
    \wrongchoice{$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 - z + 1)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q05}
    Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au
maximum, un polynôme de degré $5$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{Une infinité}
    \wrongchoice{$10$}
    \wrongchoice{Exactement $5$, toujours}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q06}
    L'équation $z^3 - z^2 + 3z + 5 = 0$ admet la racine $z =
-1$. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$}
    \wrongchoice{$z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$}
    \wrongchoice{$z = 5$ et $z = -1$}
    \wrongchoice{Aucune autre : $-1$ est la seule solution}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q07}
    Qu'appelle-t-on racines $n$-ièmes de l'unité ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les solutions complexes de l'équation $z^n = 1$}
    \wrongchoice{Les solutions de $z^n = 0$}
    \wrongchoice{Les nombres $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, 1$}
    \wrongchoice{Les solutions de $z^n = n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q08}
    Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{2i\pi/3}$
et $j^2$ (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique
de $j$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
  \draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) node[below] {$\mathrm{Re}$};
  \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.7) node[left] {$\mathrm{Im}$};
  \draw (0,0) circle (1);
  \draw[dashed] (1,0) -- (-0.5,0.866) -- (-0.5,-0.866) -- cycle;
  \fill (1,0) circle (1.5pt);
  \node[below right,font=\small] at (1,0) {$1$};
  \fill (-0.5,0.866) circle (1.5pt);
  \node[above left,font=\small] at (-0.5,0.866) {$j$};
  \fill (-0.5,-0.866) circle (1.5pt);
  \node[below left,font=\small] at (-0.5,-0.866) {$j^2$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}
    \wrongchoice{$j = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}
    \wrongchoice{$j = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}
    \wrongchoice{$j = -1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q09}
    Quelles sont les solutions de $z^4 = 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$, $i$, $-1$ et $-i$}
    \wrongchoice{$1$ et $-1$ seulement}
    \wrongchoice{$1$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$}
    \wrongchoice{$1$ et $i$ seulement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q10}
    Que vaut la somme $1 + j + j^2$ des trois racines cubiques
de l'unité ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$j^3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q11}
    Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que traduit l'appartenance du quotient
$\dfrac{c - a}{b - a}$ à $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés}
    \wrongchoice{Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$}
    \wrongchoice{$ABC$ est équilatéral}
    \wrongchoice{$B$ et $C$ sont confondus}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q12}
    Les images des racines $5$-ièmes de l'unité forment quelle
figure du plan complexe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, avec
un sommet en $1$}
    \wrongchoice{Un segment de l'axe réel}
    \wrongchoice{Un pentagone régulier centré en $1$}
    \wrongchoice{Cinq points au hasard sur le cercle unité}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q13}
    Un polynôme à coefficients \textbf{réels} admet $2 + 3i$ comme
racine. Que peut-on affirmer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2 - 3i$ est aussi racine : les racines non réelles vont
par paires conjuguées}
    \wrongchoice{$-2 - 3i$ est aussi racine}
    \wrongchoice{Rien : chaque racine est indépendante}
    \wrongchoice{Le polynôme n'a que des racines complexes}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q14}
    Quelles sont les solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ : les nombres $j$ et
$j^2$}
    \wrongchoice{$z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$}
    \wrongchoice{$z = 1$ et $z = -1$}
    \wrongchoice{Aucune : $\Delta < 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q15}
    Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\mathbb{C}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(z - 3i)(z + 3i)$}
    \wrongchoice{$(z + 3)(z - 3)$}
    \wrongchoice{$(z + 3)^2$}
    \wrongchoice{Il est irréductible : somme de carrés}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q16}
    Combien l'équation $z^n = 1$ a-t-elle de solutions
complexes ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Exactement $n$}
    \wrongchoice{Une seule : $z = 1$}
    \wrongchoice{Deux : $z = 1$ et $z = -1$}
    \wrongchoice{Une infinité}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q17}
    $A$, $B$, $C$ sont trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que signifie « $\dfrac{c - a}{b - a}$ est
imaginaire pur (non nul) » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{L'angle en $A$ entre $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ est droit}
    \wrongchoice{Les points sont alignés}
    \wrongchoice{Le triangle est équilatéral}
    \wrongchoice{$AB = AC$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}{
  \begin{question}{q18}
    Quelles sont les solutions complexes de $z^3 = 8$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2$, $2j$ et $2j^2$ (où $j = e^{2i\pi/3}$)}
    \wrongchoice{$2$ seulement}
    \wrongchoice{$2$, $-2$ et $2i$}
    \wrongchoice{$8$, $8j$ et $8j^2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}
  \insertgroup{mathsexpertesequationspolynomialesracinesunite}
}

\end{document}
