\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Dérivation}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Dérivation} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q01}
    Soit $f$ une fonction et $a$, $h$ des réels ($h \neq 0$).
Comment s'écrit le taux de variation de $f$ entre $a$ et
$a + h$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h}$}
    \wrongchoice{$f(a+h) - f(a)$}
    \wrongchoice{$\dfrac{f(h) - f(a)}{h - a}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q02}
    Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La pente de la tangente à la courbe de $f$ au point
d'abscisse $a$}
    \wrongchoice{La pente de la sécante entre $a$ et $a + 1$}
    \wrongchoice{L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$}
    \wrongchoice{L'aire sous la courbe jusqu'à $a$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q03}
    Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la
courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\,;\,1)$. Que vaut
$f'(1)$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.72]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (3.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.15:2.15,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{\x*\x});
  \draw[domain=-0.55:2.75,thick,red] plot (\x,{2*\x-1});
  \fill (1,1) circle (0.08);
  \node[above left,font=\small] at (1,1) {$A$};
  \node[blue,font=\small] at (-1.95,4.25) {$\mathcal{C}_f$};
  \node[red,font=\small] at (3.15,4.15) {$T$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(1) = 2$}
    \wrongchoice{$f'(1) = 1$}
    \wrongchoice{$f'(1) = -1$}
    \wrongchoice{$f'(1) = \dfrac{1}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q04}
    Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = 2x - 1$}
    \wrongchoice{$y = 2x + 1$}
    \wrongchoice{$y = x + 1$}
    \wrongchoice{$y = 2x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q05}
    Quelle est la dérivée de la fonction inverse
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{2x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q06}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2\sqrt{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $f(x) = x^2\,(x + 3)$. Que vaut $f'(x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 3x^2 + 6x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x(x + 3)$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 3x^2 + 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Que vaut $f'(x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2 + 1)^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{2x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q09}
    En utilisant l'approximation $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$
avec $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 4$, quelle valeur approchée
obtient-on pour $\sqrt{4{,}1}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2{,}025$}
    \wrongchoice{$2{,}05$}
    \wrongchoice{$2{,}1$}
    \wrongchoice{$2{,}0025$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q10}
    La fonction $x \mapsto |x|$ est-elle dérivable en $0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : le taux de variation vaut $1$ à droite de $0$ et
$-1$ à gauche}
    \wrongchoice{Oui, avec $f'(0) = 0$}
    \wrongchoice{Oui, avec $f'(0) = 1$}
    \wrongchoice{Non, car la fonction n'est pas continue en $0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q11}
    Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant
$t = 3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$ m/s}
    \wrongchoice{$9$ m/s}
    \wrongchoice{$3$ m/s}
    \wrongchoice{$2$ m/s}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q12}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{-2}$ (définie pour
$x \neq 0$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = -2x^{-3}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = -2x^{-1}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x^{-3}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q13}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 6x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 3x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 6x^2$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q14}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 3x^2 - 10x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 3x^2 - 10x + 1$}
    \wrongchoice{$f'(x) = x^2 - 5x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 3x^2 - 5x^2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q15}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 0$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 7$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 1$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 7x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q16}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
(pour $x \neq 2$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 2)^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 3$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{7}{(x - 2)^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{-7}{x - 2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q17}
    Soit $f(x) = x^2$. En quel point la tangente à la courbe
est-elle parallèle à la droite $y = 4x - 7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au point d'abscisse $2$, car $f'(x) = 2x = 4 \iff x = 2$}
    \wrongchoice{Au point d'abscisse $4$}
    \wrongchoice{Au point d'abscisse $-7$}
    \wrongchoice{Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q18}
    Sur un graphique, la tangente à la courbe de $f$ au point
d'abscisse $a$ descend (de gauche à droite). Que peut-on en
déduire ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(a) < 0$}
    \wrongchoice{$f(a) < 0$}
    \wrongchoice{$f'(a) = 0$}
    \wrongchoice{$a < 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q19}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{5}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = -\dfrac{5}{x^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{5}{x^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 5\ln x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q20}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 4x - 5$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 4x + 5$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x^2 - 5x - 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q21}
    La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est-elle dérivable en $0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : le taux $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$
tend vers $+\infty$ : tangente verticale}
    \wrongchoice{Oui, avec $f'(0) = 0$}
    \wrongchoice{Oui, car $f$ est définie en $0$}
    \wrongchoice{Non, car $\sqrt{0}$ n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q22}
    Soit $f(x) = x^2$. En utilisant l'approximation $f(a + h)
\approx f(a) + h\,f'(a)$, quelle estimation de $2{,}01^2$
obtient-on ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 \times 4 = 4{,}04$}
    \wrongchoice{$2{,}01^2 \approx 4$}
    \wrongchoice{$2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 = 4{,}01$}
    \wrongchoice{$2{,}01^2 \approx 4{,}4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q23}
    Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à $t = 3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$ m/s : la dérivée $d'(t) = 2t$ évaluée en $3$}
    \wrongchoice{$9$ m/s}
    \wrongchoice{$3$ m/s : la vitesse moyenne depuis le départ}
    \wrongchoice{$2$ m/s}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitederivation}{
  \begin{question}{q24}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\sqrt{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \sqrt{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{2}{3}\sqrt{x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialitederivation}
  \insertgroup{premierespecialitederivation}
}

\end{document}
