\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Expérimentations et simulation}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Expérimentations et simulation} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q01}
    Quelle instruction Python simule le lancer d'un dé équilibré
à six faces (après \texttt{from random import randint}) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{\texttt{randint(1, 6)}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(0, 6)}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(1, 5)}}
    \wrongchoice{\texttt{6 * randint(0, 1)}}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q02}
    Après \texttt{from random import random}, quelle expression Python
vaut \texttt{True} avec la probabilité $0{,}3$ (simulation d'un
succès de probabilité $0{,}3$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{\texttt{random() < 0.3}}
    \wrongchoice{\texttt{random() > 0.3}}
    \wrongchoice{\texttt{random() == 0.3}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(0, 3)}}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q03}
    On simule un échantillon de taille $n$ d'une variable
aléatoire $X$ et on calcule la moyenne $m$ des valeurs
obtenues. Quelle affirmation est correcte ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$m$ varie d'un échantillon à l'autre, alors que $E(X)$
est un nombre fixe du modèle}
    \wrongchoice{$m = E(X)$ exactement, dès que $n \geq 30$}
    \wrongchoice{$E(X)$ change à chaque simulation}
    \wrongchoice{$m$ et $E(X)$ n'ont aucun lien}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q04}
    Quelle fonction Python renvoie correctement la moyenne d'une
liste non vide \texttt{L} de nombres ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{\begin{lstlisting}
def moyenne(L):
    return sum(L) / len(L)
\end{lstlisting}}
    \wrongchoice{\begin{lstlisting}
def moyenne(L):
    return sum(L) / n
\end{lstlisting}}
    \wrongchoice{\begin{lstlisting}
def moyenne(L):
    return len(L) / sum(L)
\end{lstlisting}}
    \wrongchoice{\begin{lstlisting}
def moyenne(L):
    return sum(L) - len(L)
\end{lstlisting}}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q05}
    On compare des moyennes d'échantillons de taille $n = 100$
puis $n = 10\,000$ d'une même variable aléatoire. Qu'observe-t-on
typiquement ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les moyennes des grands échantillons sont plus resserrées
autour de l'espérance}
    \wrongchoice{Les moyennes fluctuent autant, quelle que soit la taille}
    \wrongchoice{Les grands échantillons donnent des moyennes plus grandes}
    \wrongchoice{Au-delà de $n = 1000$, la moyenne devient exactement
l'espérance}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q06}
    Pour diviser par $10$ l'ordre de grandeur
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ des écarts entre moyenne
d'échantillon et espérance, par combien faut-il multiplier la
taille $n$ de l'échantillon ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Par $100$}
    \wrongchoice{Par $10$}
    \wrongchoice{Par $\sqrt{10}$}
    \wrongchoice{Par $1000$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q07}
    Que fait l'instruction Python \texttt{for \_ in range(1000):} placée
au-dessus d'un bloc de code ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle exécute le bloc $1000$ fois}
    \wrongchoice{Elle exécute le bloc jusqu'à obtenir $1000$}
    \wrongchoice{Elle crée une liste de $1000$ zéros}
    \wrongchoice{Elle exécute le bloc une fois avec $n = 1000$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q08}
    Pourquoi simuler $10\,000$ fois une expérience pour estimer
la probabilité d'un événement ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Parce que la fréquence observée sur un grand nombre de
répétitions approche la probabilité cherchée}
    \wrongchoice{Parce que la fréquence observée est exactement égale à la
probabilité}
    \wrongchoice{Parce qu'une simulation remplace toute démonstration}
    \wrongchoice{Parce que l'ordinateur produit du vrai hasard parfait}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q09}
    On simule $N$ échantillons de taille $n$ d'une variable
d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, et on calcule
chaque moyenne $m$. Quelle proportion des cas vérifie
typiquement $|m - \mu| \leq \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Environ $95\ \%$}
    \wrongchoice{Environ $50\ \%$}
    \wrongchoice{Exactement $100\ \%$}
    \wrongchoice{Environ $5\ \%$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q10}
    Que renvoie cette fonction ?

\begin{lstlisting}
from random import randint
def f(n):
    c = 0
    for _ in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            c = c + 1
    return c / n
\end{lstlisting}
    \begin{choices}
    \correctchoice{La fréquence de « 6 » observée sur $n$ lancers de dé
simulés}
    \wrongchoice{Le nombre de « 6 » obtenus}
    \wrongchoice{La probabilité exacte $\dfrac{1}{6}$}
    \wrongchoice{Toujours $0$, car \texttt{c} est initialisé à $0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q11}
    Dans la fonction précédente, par quoi remplacer la condition
\texttt{randint(1, 6) == 6} pour estimer la fréquence d'un résultat
\textbf{pair} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{\texttt{randint(1, 6) \% 2 == 0}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(1, 6) == 2, 4, 6}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(1, 6) \% 2 == 1}}
    \wrongchoice{\texttt{randint(2, 6)}}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteexperimentations}{
  \begin{question}{q12}
    On simule $100$ lancers d'une pièce supposée équilibrée et
on observe une fréquence de pile de $0{,}56$. Peut-on
conclure que la pièce est truquée ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : pour $n = 100$, un écart de $0{,}06$ est dans la
fluctuation normale d'échantillonnage}
    \wrongchoice{Oui : $0{,}56 \neq 0{,}5$, donc la pièce est déséquilibrée}
    \wrongchoice{Oui, si la simulation a été faite en Python}
    \wrongchoice{Non : une simulation ne donne jamais aucune information}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialiteexperimentations}
  \insertgroup{premierespecialiteexperimentations}
}

\end{document}
