\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Fonction exponentielle}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Fonction exponentielle} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q01}
    Comment la fonction exponentielle est-elle définie au
programme de première ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{C'est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$
vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$}
    \wrongchoice{C'est la fonction $x \mapsto x^e$}
    \wrongchoice{C'est l'unique fonction vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 0$}
    \wrongchoice{C'est la fonction réciproque du logarithme}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q02}
    Que peut-on dire du signe de $e^x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e^x > 0$ pour tout réel $x$}
    \wrongchoice{$e^x > 0$ seulement pour $x > 0$}
    \wrongchoice{$e^x$ s'annule en $x = 0$}
    \wrongchoice{$e^x$ change de signe en $x = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q03}
    Pour tous réels $x$ et $y$, que vaut $e^{x + y}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e^x \times e^y$}
    \wrongchoice{$e^x + e^y$}
    \wrongchoice{$e^{xy}$}
    \wrongchoice{$e^x \times y$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q04}
    Que vaut $e^{-3}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{e^3}$}
    \wrongchoice{$-e^3$}
    \wrongchoice{$e^{1/3}$}
    \wrongchoice{$1 - e^3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q05}
    Que vaut $\left(e^x\right)^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e^{2x}$}
    \wrongchoice{$e^{x^2}$}
    \wrongchoice{$2e^x$}
    \wrongchoice{$e^{x+2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q06}
    Quelle est la dérivée de la fonction $f(t) = e^{5t}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(t) = 5\,e^{5t}$}
    \wrongchoice{$f'(t) = e^{5t}$}
    \wrongchoice{$f'(t) = 5\,e^{t}$}
    \wrongchoice{$f'(t) = 5t\,e^{5t - 1}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q07}
    Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la
courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$. Quelle est
son équation ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-0.7) grid (2.2,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.4,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.7:1.5,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{exp(\x)});
  \draw[domain=-1.6:2.2,thick,red] plot (\x,{\x+1});
  \fill (0,1) circle (0.07);
  \node[blue,font=\small] at (0.7,4.2) {$y=e^x$};
  \node[red,font=\small] at (2,2.6) {$T$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = x + 1$}
    \wrongchoice{$y = x$}
    \wrongchoice{$y = 1$}
    \wrongchoice{$y = e\,x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q08}
    Comment se comparent $e^{-2}$ et $e^{-3}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e^{-2} > e^{-3}$, car l'exponentielle est strictement
croissante et $-2 > -3$}
    \wrongchoice{$e^{-2} < e^{-3}$, car les exposants sont négatifs}
    \wrongchoice{Ils sont égaux}
    \wrongchoice{On ne peut pas les comparer sans calculatrice}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q09}
    Soit la suite définie par $u_n = e^{0{,}5\,n}$ pour $n$
entier naturel. Quelle est sa nature ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Géométrique de raison $e^{0{,}5}$}
    \wrongchoice{Arithmétique de raison $0{,}5$}
    \wrongchoice{Géométrique de raison $0{,}5$}
    \wrongchoice{Géométrique de raison $e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q10}
    Une quantité radioactive évolue selon $N(t) = N_0\,
e^{-0{,}3\,t}$ (avec $N_0 > 0$). Que peut-on dire de la
fonction $N$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est strictement décroissante : c'est une décroissance
exponentielle}
    \wrongchoice{Elle est croissante, car une exponentielle croît toujours}
    \wrongchoice{Elle devient négative pour $t$ assez grand}
    \wrongchoice{Elle est constante égale à $N_0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q11}
    Simplifier l'expression $\dfrac{e^x \times e^2}{e^{x+1}}$.
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e$}
    \wrongchoice{$e^x$}
    \wrongchoice{$e^{2x + 1}$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q12}
    Quelle est la solution de l'équation $e^{x} = e^{2x - 1}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 1$}
    \wrongchoice{$x = 0$}
    \wrongchoice{$x = -1$}
    \wrongchoice{L'équation n'a pas de solution}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q13}
    Que vaut $e^0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{$-1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q14}
    Que vaut $e^2 \times e^3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e^5$}
    \wrongchoice{$e^6$}
    \wrongchoice{$2e^3$}
    \wrongchoice{$e^2 + e^3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q15}
    Quelle est la solution de l'équation $e^x = e^3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 3$}
    \wrongchoice{$x = e^3$}
    \wrongchoice{Aucune solution}
    \wrongchoice{$x = 3$ ou $x = -3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q16}
    Pour tout réel $x$, que vaut $\left(e^x\right)^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e^{2x}$}
    \wrongchoice{$e^{x^2}$}
    \wrongchoice{$2e^x$}
    \wrongchoice{$e^{x+2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q17}
    Quel est l'ensemble des solutions de $e^x \geq 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$[0\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$\mathbb{R}$ : une exponentielle est toujours positive}
    \wrongchoice{$[1\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$]-\infty\ ;\ 0]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q18}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\,e^x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = (1 + x)\,e^x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = e^x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = x\,e^x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = e^{x} + x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q19}
    Quelle description correspond à la fonction $x \mapsto
e^{-x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Strictement décroissante, toujours positive, tend vers
$0$ en $+\infty$}
    \wrongchoice{Décroissante puis négative après son zéro}
    \wrongchoice{Croissante, comme toute exponentielle}
    \wrongchoice{Constante égale à $\dfrac{1}{e}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q20}
    Pour tout réel $x$, que vaut $\dfrac{e^{x+1}}{e^{x}}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e$}
    \wrongchoice{$e^{x}$}
    \wrongchoice{$1 + \dfrac{1}{e^x}$}
    \wrongchoice{$x + 1 - x = 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q21}
    La température d'un café suit $f(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}$
($t$ en minutes). Que valent la température initiale et la
température de long terme ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$80$ degrés au départ, $20$ degrés à long terme}
    \wrongchoice{$60$ degrés au départ, $0$ degré à long terme}
    \wrongchoice{$20$ degrés au départ, $80$ degrés à long terme}
    \wrongchoice{$80$ degrés au départ, $0$ degré à long terme}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q22}
    Pourquoi a-t-on $e^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa
tangente en $0$, qui a pour équation $y = 1 + x$}
    \wrongchoice{Parce que $e^x$ est toujours positif}
    \wrongchoice{Parce que $e > 2$}
    \wrongchoice{L'inégalité est fausse pour $x$ négatif}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q23}
    Quelles sont les solutions de $e^{2x} = e^x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 0$ seulement}
    \wrongchoice{$x = 0$ ou $x = 1$}
    \wrongchoice{Aucune : les exposants sont différents}
    \wrongchoice{Tout réel $x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitefonctionexponentielle}{
  \begin{question}{q24}
    Quel est le signe de $e^x - 1$ selon les valeurs de $x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Négatif pour $x < 0$, nul en $0$, positif pour $x > 0$ :
le signe de $x$}
    \wrongchoice{Toujours positif, car une exponentielle est positive}
    \wrongchoice{Toujours négatif}
    \wrongchoice{Positif pour $x < 0$, négatif pour $x > 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialitefonctionexponentielle}
  \insertgroup{premierespecialitefonctionexponentielle}
}

\end{document}
