\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Probabilités conditionnelles et indépendance}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Probabilités conditionnelles et indépendance} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q01}
    Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ (de probabilités
non nulles) sont \textbf{indépendants} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Lorsque $P_B(A) = P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne
change pas la probabilité de $A$}
    \wrongchoice{Lorsque $A \cap B = \varnothing$}
    \wrongchoice{Lorsque $P(A) = P(B)$}
    \wrongchoice{Lorsque $A$ et $B$ concernent deux expériences différentes}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q02}
    On donne $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$ et
$P(A \cap B) = 0{,}15$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils
indépendants ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $P(A) \times P(B) = 0{,}15 = P(A \cap B)$}
    \wrongchoice{Non, car $P(A) \neq P(B)$}
    \wrongchoice{Non, car $A \cap B$ n'est pas vide}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans arbre}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q03}
    Deux événements $A$ et $B$ de probabilités \textbf{non nulles}
sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$). Peuvent-ils
être indépendants ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A)P(B) > 0$}
    \wrongchoice{Oui : ne pas pouvoir se produire ensemble, c'est être
indépendants}
    \wrongchoice{Oui, si $P(A) = P(B)$}
    \wrongchoice{Cela dépend de l'univers}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q04}
    L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes. Que
vaut $P(B)$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}32$}
    \wrongchoice{$P(B) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8$}
    \wrongchoice{$P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$}
    \wrongchoice{$P(B) = 0{,}6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q05}
    Que forment les événements $A$ et $\overline{A}$ (avec
$0 < P(A) < 1$) vis-à-vis de l'univers $\Omega$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une partition : ils sont incompatibles et leur réunion
est $\Omega$}
    \wrongchoice{Deux événements indépendants}
    \wrongchoice{Deux événements équiprobables}
    \wrongchoice{Le même événement écrit de deux façons}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q06}
    On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. Quelle
est la probabilité d'obtenir un $6$ \textbf{et} pile ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q07}
    On lance trois fois de suite une pièce équilibrée (lancers
indépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois
pile ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q08}
    On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre
$p = \dfrac{1}{2}$ (lancers de pièce). Quelle est la
probabilité d'obtenir \textbf{exactement un} pile ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q09}
    Dans un arbre de probabilité, que vaut la somme des
pondérations des branches issues d'un même nœud ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Toujours $1$}
    \wrongchoice{Toujours $0{,}5$}
    \wrongchoice{La probabilité du nœud de départ}
    \wrongchoice{Cela dépend du niveau dans l'arbre}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q10}
    Soient $A$ et $B$ indépendants. Les événements $A$ et
$\overline{B}$ sont-ils indépendants ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui : l'indépendance se transmet aux contraires}
    \wrongchoice{Non, jamais}
    \wrongchoice{Seulement si $P(B) = 0{,}5$}
    \wrongchoice{Ils deviennent incompatibles}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q11}
    On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}12$. Que vaut
$P_A(B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$0{,}048$}
    \wrongchoice{$0{,}12$}
    \wrongchoice{$0{,}52$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q12}
    Dans quelle situation l'hypothèse d'indépendance entre deux
tirages successifs est-elle justifiée ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Tirage d'une boule, \textbf{remise} dans l'urne, second
tirage}
    \wrongchoice{Tirage d'une boule, puis d'une seconde \textbf{sans remise}}
    \wrongchoice{Toute succession de deux tirages, par principe}
    \wrongchoice{Aucune : deux tirages successifs ne sont jamais
indépendants}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q13}
    On donne $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Que vaut
$P_A(B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}4$}
    \wrongchoice{$0{,}1$}
    \wrongchoice{$0{,}2$}
    \wrongchoice{$2{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q14}
    Dans une classe : $12$ filles dont $9$ demi-pensionnaires,
$18$ garçons dont $9$ demi-pensionnaires. On choisit un
élève au hasard. Que vaut
$P_{\text{fille}}(\text{demi-pensionnaire})$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{9}{12} = 0{,}75$}
    \wrongchoice{$\dfrac{9}{30}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{9}{18}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{12}{30}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q15}
    On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut
$P(A \cap B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}18$}
    \wrongchoice{$0{,}9$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \wrongchoice{$0{,}3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q16}
    Un arbre donne : $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$,
$P(\bar{A}) = 0{,}7$, $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut
$P(B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}32$}
    \wrongchoice{$0{,}18$}
    \wrongchoice{$0{,}8$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q17}
    Avec les données précédentes ($P(A \cap B) = 0{,}18$ et
$P(B) = 0{,}32$), que vaut $P_B(A)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625$}
    \wrongchoice{$0{,}6$, comme $P_A(B)$}
    \wrongchoice{$0{,}18$}
    \wrongchoice{$1 - 0{,}6 = 0{,}4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}{
  \begin{question}{q18}
    Une maladie touche $1\ \%$ de la population. Un test détecte
$99\ \%$ des malades, mais sonne à tort chez $5\ \%$ des
personnes saines. Une personne a un test positif : quelle
est environ la probabilité qu'elle soit malade ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Environ $\dfrac{1}{6}$ : les faux positifs des $99\ \%$
de sains noient les vrais positifs}
    \wrongchoice{$99\ \%$ : le test est fiable à $99\ \%$}
    \wrongchoice{$95\ \%$}
    \wrongchoice{$50\ \%$ : malade ou pas, deux cas équiprobables}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}
  \insertgroup{premierespecialiteprobabilitesconditionnelles}
}

\end{document}
