\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Calcul vectoriel et produit scalaire}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Calcul vectoriel et produit scalaire} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q01}
    Dans un repère orthonormé du plan, on donne
$\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-4$}
    \wrongchoice{$8$}
    \wrongchoice{$(2\,;\,-6)$}
    \wrongchoice{$4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q02}
    À quelle condition deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$}
    \wrongchoice{$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$}
    \wrongchoice{$\vec{u} = -\vec{v}$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q03}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 3$,
$\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre eux vaut
$\dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$}
    \wrongchoice{$12$}
    \wrongchoice{$6\sqrt{3}$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q04}
    Que peut-on dire du signe de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ selon
l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs (non nuls) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Positif si $\theta$ est aigu, nul si $\theta$ est droit,
négatif si $\theta$ est obtus}
    \wrongchoice{Toujours positif, comme toute « multiplication » de
longueurs}
    \wrongchoice{Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant}
    \wrongchoice{Le signe dépend uniquement des normes}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q05}
    Sachant que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$, que vaut
$(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v})$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$18$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q06}
    Soient $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$. Que vaut
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$15$}
    \wrongchoice{$13$}
    \wrongchoice{$25$}
    \wrongchoice{$14$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q07}
    Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 3$, $AC = 4$ et
$\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $BC$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$BC = \sqrt{13}$}
    \wrongchoice{$BC = 5$}
    \wrongchoice{$BC = \sqrt{37}$}
    \wrongchoice{$BC = 13$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q08}
    Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quel est
l'ensemble des points $M$ vérifiant
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Le cercle de diamètre $[AB]$}
    \wrongchoice{La médiatrice de $[AB]$}
    \wrongchoice{La droite $(AB)$}
    \wrongchoice{Le cercle de centre $A$ passant par $B$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q09}
    Soient $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$ : les vecteurs sont orthogonaux}
    \wrongchoice{$12$}
    \wrongchoice{$25$}
    \wrongchoice{$5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q10}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que
$\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$, $\|\vec{u}\| = 2$ et
$\|\vec{v}\| = 6$. Que vaut l'angle $\theta$ entre les deux
vecteurs ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$}
    \wrongchoice{$\theta = \dfrac{\pi}{3}$}
    \wrongchoice{$\theta = \dfrac{\pi}{2}$}
    \wrongchoice{$\cos\theta = -6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q11}
    Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,k)$ et
$\vec{v}(2\,;\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$k = 6$}
    \wrongchoice{$k = -6$}
    \wrongchoice{$k = \dfrac{3}{2}$}
    \wrongchoice{$k = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Quelle transformation de
l'expression $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
est correcte (pour tout point $M$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
\dfrac{AB^2}{4}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 +
\dfrac{AB^2}{4}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MA^2 +
MB^2$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
AB^2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q13}
    Soient $\vec{u}(3\ ;\ -1)$ et $\vec{v}(2\ ;\ 4)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2$}
    \wrongchoice{$10$}
    \wrongchoice{$(6\ ;\ -4)$}
    \wrongchoice{$14$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q14}
    Que vaut la norme du vecteur $\vec{u}(3\ ;\ 4)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\|\vec{u}\| = 5$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\| = 7$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\| = 25$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\| = 12$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q15}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires \textbf{de même sens},
avec $\|\vec{u}\| = 2$ et $\|\vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10$}
    \wrongchoice{$-10$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q16}
    Dans un triangle, $b = 3$, $c = 5$ et l'angle entre eux vaut
$60°$. Que vaut le côté opposé $a$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$a = \sqrt{19}$, car $a^2 = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5
\times \dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$a = \sqrt{34}$}
    \wrongchoice{$a = \sqrt{49} = 7$}
    \wrongchoice{$a = 2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q17}
    Soient $\vec{u}(1\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(3\ ;\ 1)$. Que vaut
l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$45°$, car $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} =
\dfrac{1}{\sqrt{2}}$}
    \wrongchoice{$60°$}
    \wrongchoice{$90°$}
    \wrongchoice{$5°$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q18}
    $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$,
et $H$ appartient à la demi-droite $[AB)$. Que vaut
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$AB \times AH$}
    \wrongchoice{$AB \times AC$}
    \wrongchoice{$AB \times HC$}
    \wrongchoice{$0$, car $H$ est un projeté orthogonal}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q19}
    Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ m)$ et
$\vec{v}(3\ ;\ -1)$ sont-ils orthogonaux ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$m = 6$}
    \wrongchoice{$m = -6$}
    \wrongchoice{$m = \dfrac{2}{3}$}
    \wrongchoice{Aucune valeur ne convient}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q20}
    On connaît $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 2$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 4$. Que vaut $\vec{u} \cdot
\vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{3}{2}$, car $\vec{u} \cdot \vec{v} =
\dfrac{16 - 9 - 4}{2}$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$16$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q21}
    Un triangle a pour côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Que
vaut l'angle $\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$60°$, car $\cos\widehat{A} = \dfrac{25 + 64 - 49}{2
\times 5 \times 8} = \dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$30°$}
    \wrongchoice{$90°$}
    \wrongchoice{Impossible sans les angles du triangle}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q22}
    $A$ est un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est
l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}
\cdot \vec{u} = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La droite passant par $A$ de vecteur \textbf{normal} $\vec{u}$}
    \wrongchoice{La droite passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$}
    \wrongchoice{Le cercle de centre $A$}
    \wrongchoice{Le seul point $A$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q23}
    Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 + \|\vec{u} -
\vec{v}\|^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{v}\|^2$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$4\,\vec{u} \cdot \vec{v}$}
    \wrongchoice{$2\|\vec{u}\|^2 - 2\|\vec{v}\|^2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialiteproduitscalaire}{
  \begin{question}{q24}
    On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$
avec $\vec{u} \neq \vec{0}$. Peut-on conclure $\vec{v} =
\vec{w}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : cela signifie seulement que $\vec{u} \perp
(\vec{v} - \vec{w})$}
    \wrongchoice{Oui : on simplifie par $\vec{u}$ comme avec des nombres}
    \wrongchoice{Oui, si $\vec{u}$ est unitaire}
    \wrongchoice{Non, sauf si $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont opposés}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialiteproduitscalaire}
  \insertgroup{premierespecialiteproduitscalaire}
}

\end{document}
