\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\title{Variables aléatoires réelles}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Variables aléatoires réelles} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q01}
    Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une
variable aléatoire réelle $X$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de
l'univers}
    \wrongchoice{Un nombre qui change tout le temps}
    \wrongchoice{Un événement particulier}
    \wrongchoice{Une probabilité comprise entre 0 et 1}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q02}
    La variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec
$P(X = -1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$. Que vaut
$P(X = 5)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}2$}
    \wrongchoice{$0{,}8$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q03}
    Avec la loi précédente ($-1$ avec $0{,}5$ ; $2$ avec
$0{,}3$ ; $5$ avec $0{,}2$), que vaut $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1{,}1$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q04}
    $X$ désigne le gain (en euros) à un jeu, avec $E(X) =
1{,}1$. Quelle interprétation est correcte ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie
est proche de $1{,}10$ euro}
    \wrongchoice{À chaque partie, on gagne exactement $1{,}10$ euro}
    \wrongchoice{On gagne dans $1{,}1$ partie sur $2$}
    \wrongchoice{Le gain le plus probable est $1{,}10$ euro}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q05}
    Quand dit-on qu'un jeu d'argent est \textbf{équitable} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Lorsque l'espérance du gain algébrique (mise déduite) est
nulle}
    \wrongchoice{Lorsque toutes les issues sont équiprobables}
    \wrongchoice{Lorsqu'on gagne une fois sur deux}
    \wrongchoice{Lorsque la mise est faible}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q06}
    Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance
(moyenne des carrés des écarts)}
    \wrongchoice{La valeur moyenne de $X$}
    \wrongchoice{La probabilité que $X$ dépasse sa moyenne}
    \wrongchoice{La plus grande valeur possible de $X$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut
$V(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$45$}
    \wrongchoice{$-3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q08}
    Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son
écart-type $\sigma(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$81$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$4{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $X$ avec $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$13$}
    \wrongchoice{$10$}
    \wrongchoice{$16$}
    \wrongchoice{$25$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $X$ avec $V(X) = 2$. Que vaut $V(2X + 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$8$}
    \wrongchoice{$7$}
    \wrongchoice{$4$}
    \wrongchoice{$11$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q11}
    Avec la loi : $P(X = -1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$,
$P(X = 5) = 0{,}2$, que vaut $P(X \leq 2)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}8$}
    \wrongchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$0{,}2$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q12}
    Une loterie vend $100$ billets à $1$ euro ; un seul billet
gagne un lot de $50$ euros. Soit $X$ le gain algébrique d'un
acheteur d'un billet. Que vaut $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-0{,}50$ euro : le jeu est défavorable au joueur}
    \wrongchoice{$+0{,}50$ euro}
    \wrongchoice{$0$ : le jeu est équitable}
    \wrongchoice{$-1$ euro}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q13}
    $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =
0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}25$}
    \wrongchoice{$0{,}75$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{Impossible à déterminer}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q14}
    $X$ est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut
$E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3{,}5$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$21$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q15}
    $X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$13$}
    \wrongchoice{$10$}
    \wrongchoice{$16$}
    \wrongchoice{$2E(X) + 3X$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q16}
    Un jeu coûte $2$ euros. On gagne $10$ euros avec probabilité
$0{,}1$, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain \textbf{net}
(gain moins mise) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-1$ euro : le jeu est défavorable au joueur}
    \wrongchoice{$+1$ euro}
    \wrongchoice{$0$ : le jeu est équitable}
    \wrongchoice{$8$ euros}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q17}
    $X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec $P(X = 0) = P(X = 2)
= 0{,}5$. Que vaut $V(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$ : $E(X^2) - E(X)^2 = 2 - 1$}
    \wrongchoice{$0$ : la loi est symétrique}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$-1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q18}
    Deux placements ont la même espérance de gain, mais le
placement A a un écart-type de $2$ euros et le placement B
de $50$ euros. Comment interpréter ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{B est beaucoup plus risqué : mêmes gains moyens, mais
résultats bien plus dispersés}
    \wrongchoice{B rapporte plus en moyenne}
    \wrongchoice{A et B sont identiques : même espérance}
    \wrongchoice{A est plus risqué : un petit écart-type cache des
surprises}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialitevariablesaleatoires}
  \insertgroup{premierespecialitevariablesaleatoires}
}

\end{document}
