\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Variations et courbes représentatives}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Variations et courbes représentatives} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q01}
    Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'(x) > 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ est strictement croissante sur $I$}
    \wrongchoice{$f$ est positive sur $I$}
    \wrongchoice{$f$ est décroissante sur $I$}
    \wrongchoice{$f$ est constante sur $I$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =
3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $[-1\,;\,1]$}
    \wrongchoice{Sur $]-\infty\,;\,-1]$}
    \wrongchoice{Sur $[1\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Nulle part : $x^3$ est toujours croissante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q03}
    La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles
abscisses la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \draw[dashed,red] (-1.8,2) -- (-0.2,2);
  \draw[dashed,red] (0.2,-2) -- (1.8,-2);
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{En $x = -1$ et $x = 1$}
    \wrongchoice{En $x = 0$}
    \wrongchoice{En $x = -\sqrt{3}$ et $x = \sqrt{3}$}
    \wrongchoice{Nulle part}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q04}
    Que signifie « $f$ est paire », et comment cela se traduit-il
sur sa courbe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées}
    \wrongchoice{$f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par
rapport à l'origine}
    \wrongchoice{$f(x) \geq 0$ pour tout $x$}
    \wrongchoice{$f$ ne prend que des valeurs entières paires}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Que vaut $f(-x)$, et qu'en
conclut-on ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la fonction est impaire}
    \wrongchoice{$f(-x) = x^3 - 3x = f(x)$ : la fonction est paire}
    \wrongchoice{$f(-x) = -x^3 - 3x$ : la fonction n'est ni paire ni
impaire}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire sans la courbe}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ admettant un maximum
local en $x = a$. Que peut-on affirmer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale}
    \wrongchoice{$f'(a) > 0$}
    \wrongchoice{$f(a) = 0$}
    \wrongchoice{Réciproquement, $f'(a) = 0$ garantit toujours un extremum}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.
Quel est le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Croissante, car $f' \geq 0$ sur $[0\,;\,2]$}
    \wrongchoice{Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif}
    \wrongchoice{Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans connaître $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q08}
    Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Pour étudier la position
relative de leurs courbes sur $[0\,;\,1]$, on calcule
$f(x) - g(x) = x(x - 1)$. Qu'en conclut-on ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$}
    \wrongchoice{$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$}
    \wrongchoice{Les courbes ne se coupent jamais}
    \wrongchoice{On doit comparer $f'$ et $g'$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$. En
étudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$}
    \wrongchoice{Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$}
    \wrongchoice{Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$}
    \wrongchoice{Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) = 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ est constante sur $I$}
    \wrongchoice{$f(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{$f$ n'a pas de tangente}
    \wrongchoice{$f$ est affine de pente quelconque}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q11}
    Pour démontrer que $x^2 \geq 2x - 1$ pour tout réel $x$,
quelle démarche est la plus directe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Étudier le signe de la différence
$x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$}
    \wrongchoice{Vérifier l'inégalité pour $x = 0$, $1$ et $2$}
    \wrongchoice{Comparer les dérivées : $2x$ et $2$}
    \wrongchoice{Diviser les deux membres par $x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. En quelle
abscisse la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{En $x = -\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du
sommet de la parabole}
    \wrongchoice{En $x = -\dfrac{b}{a}$}
    \wrongchoice{En $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$}
    \wrongchoice{Elle ne s'annule jamais si $\Delta < 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q13}
    $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comment se
comparent $f(2)$ et $f(5)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(2) < f(5)$}
    \wrongchoice{$f(2) > f(5)$}
    \wrongchoice{$f(2) = f(5)$}
    \wrongchoice{Impossible à dire sans l'expression de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q14}
    Le tableau de variations de $f$ indique : croissante de
$-2$ à $4$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$, puis décroissante de $4$
vers $0$ sur $[1\ ;\ +\infty[$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Deux : une avant le sommet, une après}
    \wrongchoice{Une seule}
    \wrongchoice{Aucune : $3$ n'apparaît pas dans le tableau}
    \wrongchoice{Trois}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q15}
    La courbe de la \textbf{dérivée} $f'$ est au-dessus de l'axe des
abscisses sur $]-\infty\ ;\ 1[$ et en dessous après. Que
fait $f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ croît jusqu'à $x = 1$ puis décroît : maximum en $1$}
    \wrongchoice{$f$ est positive avant $1$, négative après}
    \wrongchoice{$f$ décroît puis croît : minimum en $1$}
    \wrongchoice{$f$ a une asymptote en $x = 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q16}
    Sur $[0\ ;\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =
3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$
sur $[0\ ;\ 4]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-1$, atteint en $x = 3$}
    \wrongchoice{$0$, la borne gauche de l'intervalle}
    \wrongchoice{$2$, la dernière valeur du tableau}
    \wrongchoice{$3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q17}
    Soit $f(x) = x^4 - x^2$. Pourquoi suffit-il de l'étudier
sur $[0\ ;\ +\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées}
    \wrongchoice{$f$ est impaire : symétrie par rapport à l'origine}
    \wrongchoice{$f$ n'est pas définie pour $x < 0$}
    \wrongchoice{On ne peut pas : il faut toujours étudier sur
$\mathbb{R}$ entier}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premierespecialitevariationscourbes}{
  \begin{question}{q18}
    Pour situer la courbe de $f$ par rapport à la droite $y =
x$, on étudie $g(x) = f(x) - x$. Si $g(x) > 0$ sur un
intervalle, que peut-on dire ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La courbe de $f$ est au-dessus de la droite sur cet
intervalle}
    \wrongchoice{La courbe est en dessous de la droite}
    \wrongchoice{$f$ est croissante sur cet intervalle}
    \wrongchoice{La courbe coupe la droite sur cet intervalle}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premierespecialitevariationscourbes}
  \insertgroup{premierespecialitevariationscourbes}
}

\end{document}
