\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Modélisation quadratique}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Modélisation quadratique} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q01}
    La courbe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ est une
parabole. Dans quel sens est-elle tournée ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif}
    \wrongchoice{Vers le haut, car $3$ et $1$ sont positifs}
    \wrongchoice{Vers le bas, car la courbe passe par $1$ en $x = 0$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans tracer}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q02}
    La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous représente une fonction
polynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{-\x*\x+2*\x+3});
  \node[blue,font=\small] at (3.6,2.2) {$\mathcal{P}$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-1$ et $3$}
    \wrongchoice{$1$ et $4$}
    \wrongchoice{$3$ seulement}
    \wrongchoice{$0$ et $3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q03}
    Pour la même parabole (racines $-1$ et $3$, sommet en
hauteur $4$), quel est l'axe de symétrie ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{-\x*\x+2*\x+3});
  \node[blue,font=\small] at (3.6,2.2) {$\mathcal{P}$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{La droite verticale $x = 1$, à mi-chemin des racines}
    \wrongchoice{La droite horizontale $y = 4$}
    \wrongchoice{La droite $x = 2$}
    \wrongchoice{L'axe des ordonnées}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q04}
    Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,
et sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse
son minimum est-il atteint ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{En $x = 5$, milieu des racines}
    \wrongchoice{En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$}
    \wrongchoice{En $x = 2$, la première racine}
    \wrongchoice{Impossible à dire sans le discriminant}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de
$f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$ et $5$}
    \wrongchoice{$-1$ et $-5$}
    \wrongchoice{$2$, $1$ et $5$}
    \wrongchoice{$1$ et $-5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q06}
    Toujours avec $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$, sur quel intervalle
$f(x)$ est-il strictement négatif ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $]1\,;\,5[$}
    \wrongchoice{Sur $]-\infty\,;\,1[$}
    \wrongchoice{Sur $]5\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Nulle part, car $2 > 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q07}
    Quelle est l'allure de la courbe de $f(x) = x^2 + 3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une parabole tournée vers le haut, de sommet
$(0\,;\,3)$ sur l'axe des ordonnées}
    \wrongchoice{Une parabole de sommet $(3\,;\,0)$}
    \wrongchoice{Une parabole coupant l'axe des abscisses en $-3$ et $3$}
    \wrongchoice{Une droite de pente $3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q08}
    La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la
hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{À $t = 1$ s, hauteur $5$ m}
    \wrongchoice{À $t = 2$ s, hauteur $10$ m}
    \wrongchoice{À $t = 1$ s, hauteur $10$ m}
    \wrongchoice{La hauteur augmente sans fin}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. En résolvant $f(x) = 2$, on
trouve $x = 0$ ou $x = 6$. Qu'en déduit-on pour l'axe de
symétrie de la parabole ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{C'est la droite $x = 3$, milieu des deux antécédents de
$2$}
    \wrongchoice{C'est la droite $x = 6$}
    \wrongchoice{C'est la droite $y = 2$}
    \wrongchoice{On ne peut rien en déduire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q10}
    Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de $x^2$
\textbf{négatif} et son sommet en $x = 2$. Quel est son tableau
de variations ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Croissante sur $]-\infty\,;\,2]$, décroissante sur
$[2\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Décroissante puis croissante}
    \wrongchoice{Croissante sur tout $\mathbb{R}$}
    \wrongchoice{Décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$, car le coefficient
est négatif}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q11}
    Le chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire
$p$ est modélisé par $R(p) = p\,(100 - 2p)$ (en euros).
Quel prix maximise le chiffre d'affaires ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$p = 25$ euros}
    \wrongchoice{$p = 50$ euros}
    \wrongchoice{Le plus cher possible}
    \wrongchoice{$p = 100$ euros}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q12}
    Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par
une fonction polynôme de degré 2 ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une grandeur qui croît puis décroît (ou l'inverse), avec
un maximum ou un minimum}
    \wrongchoice{Une grandeur qui augmente du même montant chaque année}
    \wrongchoice{Une grandeur qui double à intervalles réguliers}
    \wrongchoice{Une grandeur constante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q13}
    Soit $f(x) = (x - 1)(x - 5)$. Où la parabole coupe-t-elle
l'axe des ordonnées ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{En $y = 5$, car $f(0) = (-1)(-5) = 5$}
    \wrongchoice{En $y = -5$}
    \wrongchoice{En $y = 1$ et $y = 5$}
    \wrongchoice{En $y = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q14}
    La parabole $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ a pour racines $1$ et
$5$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$ : le milieu des racines}
    \wrongchoice{$4$ : la moyenne pondérée vers la grande racine}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$6$ : la somme des racines}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q15}
    Soit $f(x) = -(x - 2)(x - 6)$. Sur quel intervalle $f$
est-elle positive ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $[2\ ;\ 6]$ : entre les racines}
    \wrongchoice{À l'extérieur des racines}
    \wrongchoice{Nulle part : le signe moins rend tout négatif}
    \wrongchoice{Partout}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q16}
    Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation
$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 5$ : le symétrique de $1$ par rapport à $3$}
    \wrongchoice{$x = -1$}
    \wrongchoice{$x = 3$}
    \wrongchoice{Il n'y en a pas d'autre}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q17}
    Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un
côté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle
valeur de $x$ maximise l'aire ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 5$ : le sommet de la parabole, au milieu des
racines $0$ et $10$}
    \wrongchoice{$x = 10$ : le côté le plus long possible}
    \wrongchoice{$x = 20$}
    \wrongchoice{Aucune : plus $x$ grandit, plus l'aire grandit}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunmodelisationquadratique}{
  \begin{question}{q18}
    La hauteur d'une balle est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ (en mètres, $t$ en secondes). Quand retombe-t-elle au
sol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $5$ m à $t = 1$ s}
    \wrongchoice{Au sol à $t = 10$ s ; hauteur maximale $10$ m}
    \wrongchoice{Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine}
    \wrongchoice{Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $10$ m à $t = 1$ s}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premieretronccommunmodelisationquadratique}
  \insertgroup{premieretronccommunmodelisationquadratique}
}

\end{document}
