\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Phénomènes aléatoires}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Phénomènes aléatoires} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q01}
    Que désigne $P_A(B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La probabilité de $B$ \textbf{sachant que} $A$ est réalisé}
    \wrongchoice{La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent ensemble}
    \wrongchoice{La probabilité de $A$ sachant $B$}
    \wrongchoice{La probabilité que $A$ se produise avant $B$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q02}
    Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de
l'événement $A \cap B$ (chemin du haut) ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$}
    \wrongchoice{$0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$}
    \wrongchoice{$0{,}6$}
    \wrongchoice{$0{,}9 \times 0{,}18$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q03}
    Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ sont
indépendants (avec $P(B) \neq 0$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Lorsque $P_B(A) = P(A)$}
    \wrongchoice{Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps}
    \wrongchoice{Lorsqu'ils ont la même probabilité}
    \wrongchoice{Lorsqu'ils concernent deux jours différents}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q04}
    On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) =
0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)$}
    \wrongchoice{Non, car $0{,}4 \neq 0{,}5$}
    \wrongchoice{Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble}
    \wrongchoice{On ne peut pas répondre sans arbre pondéré}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q05}
    Sur $1000$ personnes, $100$ sont porteuses d'un virus. Un
test détecte $90$ des $100$ porteurs, mais il est aussi
positif, à tort, pour $90$ des $900$ non-porteurs. Parmi les
personnes testées positives, quelle est la proportion de
porteurs réels ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$50\ \%$}
    \wrongchoice{$90\ \%$}
    \wrongchoice{$9\ \%$}
    \wrongchoice{$18\ \%$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q06}
    Une opération réussit avec la probabilité $0{,}9$. On la
répète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la
probabilité de $3$ réussites ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}9^3 = 0{,}729$}
    \wrongchoice{$0{,}9 \times 3 = 2{,}7$}
    \wrongchoice{$0{,}9$}
    \wrongchoice{$0{,}27$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q07}
    On représente par un arbre la répétition de $4$ épreuves de
Bernoulli. Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2^4 = 16$}
    \wrongchoice{$8$}
    \wrongchoice{$4$}
    \wrongchoice{$24$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q08}
    On lance $3$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la
probabilité d'obtenir \textbf{au moins un} pile ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{7}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{8}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q09}
    On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité
d'obtenir un double six ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{36}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{12}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{6}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q10}
    Au jeu pierre-feuille-ciseaux, votre adversaire joue chaque
coup au hasard (les trois gestes équiprobables). Quelle est
la probabilité que vous \textbf{gagniez} la manche ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{9}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q11}
    Trois portes : une cache un lot, deux sont perdantes. Vous en
choisissez une ; l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre
une \textbf{autre} porte, perdante, puis vous propose de changer.
Quelle est la probabilité de gagner \textbf{si vous changez} de
porte ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{2}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$, car il reste deux portes}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{Impossible à déterminer}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q12}
    Pour étudier un dé trouvé dans un grenier, on choisit le
modèle équiprobable ($P(\text{six}) = \frac{1}{6}$). Ce choix
se démontre-t-il ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : une loi de probabilité est une hypothèse de
modélisation ; on peut la mettre à l'épreuve par
l'expérience, pas la démontrer}
    \wrongchoice{Oui : six faces, donc un sixième chacune,
mathématiquement prouvé}
    \wrongchoice{Oui, en lançant le dé exactement $6$ fois}
    \wrongchoice{Non : les probabilités ne s'appliquent pas aux objets
réels}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q13}
    La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}35$.
Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}65$}
    \wrongchoice{$0{,}35$}
    \wrongchoice{$-0{,}35$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q14}
    D'un nœud d'un arbre partent deux branches de probabilités
$0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}4$}
    \wrongchoice{$0{,}6$}
    \wrongchoice{$1{,}6$}
    \wrongchoice{N'importe quelle valeur entre $0$ et $1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q15}
    On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \cap B) =
0{,}1$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{$0{,}8$}
    \wrongchoice{$0{,}15$}
    \wrongchoice{$0{,}9$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q16}
    Une urne contient $4$ jetons rouges et $6$ noirs. On tire
deux jetons \textbf{sans remise}. Quelle est la probabilité de la
deuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{3}{9}$ : il reste $3$ rouges parmi $9$ jetons}
    \wrongchoice{$\dfrac{4}{10}$ : la même qu'au premier tirage}
    \wrongchoice{$\dfrac{4}{9}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{10}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q17}
    On simule $10\,000$ lancers d'une punaise : elle retombe
pointe en l'air $3\,470$ fois. Que peut-on en tirer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une estimation : $P(\text{pointe en l'air}) \approx
0{,}35$, d'autant plus fiable que le nombre d'essais est
grand}
    \wrongchoice{Rien : seule une formule théorique donne une probabilité}
    \wrongchoice{$P = 0{,}5$ : pointe en l'air ou pas, deux issues}
    \wrongchoice{$P = 0{,}347$ exactement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunphenomenesaleatoires}{
  \begin{question}{q18}
    Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités non nulles.
S'ils sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$),
peuvent-ils être indépendants ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : l'incompatibilité donne $P(A \cap B) = 0 \neq
P(A) \times P(B)$}
    \wrongchoice{Oui : incompatibles et indépendants sont synonymes}
    \wrongchoice{Oui, si leurs probabilités sont égales}
    \wrongchoice{Cela dépend de l'expérience}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premieretronccommunphenomenesaleatoires}
  \insertgroup{premieretronccommunphenomenesaleatoires}
}

\end{document}
