\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Variation exponentielle}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Variation exponentielle} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q01}
    Un capital placé à intérêts \textbf{composés} de $5\ \%$ par an
est multiplié par $1{,}05$ chaque année. La suite des
capitaux annuels est :
    \begin{choices}
    \correctchoice{Géométrique, de raison $1{,}05$}
    \wrongchoice{Arithmétique, de raison $1{,}05$}
    \wrongchoice{Géométrique, de raison $0{,}05$}
    \wrongchoice{Arithmétique, de raison $5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q02}
    Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par
$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital
$u(n)$ après $n$ années ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$u(n) = 2000 \times 1{,}05^n$}
    \wrongchoice{$u(n) = 2000 + 0{,}05\,n$}
    \wrongchoice{$u(n) = 2000 \times 0{,}05^n$}
    \wrongchoice{$u(n) = 2000 \times 1{,}05 \times n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q03}
    Soit la suite géométrique $u(n) = 50 \times 0{,}9^n$
(termes strictement positifs). Quel est son sens de
variation ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Décroissante, car la raison $0{,}9$ est entre $0$ et $1$}
    \wrongchoice{Croissante, car $50$ est positif}
    \wrongchoice{Décroissante, car $0{,}9$ est négatif}
    \wrongchoice{Constante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q04}
    Que vaut $2^{1/2}$ (deux à la puissance un demi) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\sqrt{2} \approx 1{,}41$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{2} = 1$}
    \wrongchoice{$1{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q05}
    Pour $a > 0$ et $x, y \geq 0$, que vaut
$a^x \times a^y$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$a^{x+y}$}
    \wrongchoice{$a^{xy}$}
    \wrongchoice{$2a^{x+y}$}
    \wrongchoice{$a^x + a^y$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q06}
    Une grandeur a augmenté de $21\ \%$ en deux ans. Quel est le
taux d'évolution annuel \textbf{moyen} ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$10\ \%$ par an, car $1{,}1^2 = 1{,}21$}
    \wrongchoice{$10{,}5\ \%$ par an, la moitié de $21\ \%$}
    \wrongchoice{$21\ \%$ par an}
    \wrongchoice{$4{,}58\ \%$ par an}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q07}
    Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par
$1{,}44$ en deux ans. Quel taux annuel moyen cela
représente-t-il ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+20\ \%$ par an, car $1{,}44^{1/2} = 1{,}2$}
    \wrongchoice{$+22\ \%$ par an, car $44 \div 2 = 22$}
    \wrongchoice{$+44\ \%$ par an}
    \wrongchoice{$+1{,}2\ \%$ par an}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q08}
    Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à
chaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux
reste-t-il après \textbf{trois} demi-vies ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$0$ : tout a disparu}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q09}
    Une population de bactéries \textbf{double} chaque heure. Elle
compte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de
combien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4$ heures}
    \wrongchoice{$15$ heures}
    \wrongchoice{$3$ heures}
    \wrongchoice{$8$ heures}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q10}
    Une quantité double $10$ fois de suite. Par quel facteur
global est-elle environ multipliée ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Environ $1000$, car $2^{10} = 1024$}
    \wrongchoice{$20$, car $2 \times 10$}
    \wrongchoice{$100$}
    \wrongchoice{$512$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q11}
    Une population croît de $2\ \%$ par an (exponentiel) ; ses
ressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an
(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se
passe-t-il à long terme ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La population finit toujours par croître plus vite que
les ressources}
    \wrongchoice{Les ressources gardent l'avantage si leur croissance
annuelle est assez grande}
    \wrongchoice{Les deux croissances restent proportionnelles}
    \wrongchoice{Le modèle ne permet aucune conclusion}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q12}
    Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en
moyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant
d'\textbf{un} cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à
la quatrième génération de contaminations ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3^4 = 81$}
    \wrongchoice{$3 \times 4 = 12$}
    \wrongchoice{$4^3 = 64$}
    \wrongchoice{$27$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q13}
    Pour $a > 0$, que vaut $a^0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$a$}
    \wrongchoice{Cela dépend de $a$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q14}
    Une population augmente de $2\ \%$ chaque année. Par quel
nombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1{,}02^3 \approx 1{,}0612$}
    \wrongchoice{$1{,}06$ exactement}
    \wrongchoice{$3 \times 1{,}02 = 3{,}06$}
    \wrongchoice{$1{,}02 + 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q15}
    Une valeur baisse de $10\ \%$ par an pendant deux ans.
Quelle est la baisse totale ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$19\ \%$, car $0{,}9^2 = 0{,}81$}
    \wrongchoice{$20\ \%$}
    \wrongchoice{$81\ \%$}
    \wrongchoice{$1\ \%$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q16}
    Un capital de $1\,000$ euros est placé à $4\ \%$ par an
(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1\,081{,}60$ euros}
    \wrongchoice{$1\,080$ euros}
    \wrongchoice{$1\,008$ euros}
    \wrongchoice{$2\,080$ euros}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q17}
    Modèle A : $+1\,000$ par an (linéaire). Modèle B :
$+1\ \%$ par an (exponentiel), départ $10\,000$. Que
dire du long terme ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{B finit toujours par dépasser A : une croissance
exponentielle dépasse tôt ou tard toute croissance
linéaire}
    \wrongchoice{A gagne toujours : $1\,000$ est plus grand que $1\ \%$
de $10\,000$}
    \wrongchoice{Ils restent à égalité de rythme}
    \wrongchoice{Impossible à dire sans la durée exacte}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{premieretronccommunvariationexponentielle}{
  \begin{question}{q18}
    Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les
$5\,730$ ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après
$11\,460$ ans (deux demi-vies) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$25\ \%$ : la moitié de la moitié}
    \wrongchoice{$0\ \%$ : deux moitiés font un tout}
    \wrongchoice{$50\ \%$}
    \wrongchoice{$75\ \%$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{premieretronccommunvariationexponentielle}
  \insertgroup{premieretronccommunvariationexponentielle}
}

\end{document}
