\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Probabilités}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Probabilités} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q01}
    Lequel de ces nombres peut être la probabilité d'un
événement ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$1{,}2$}
    \wrongchoice{$-0{,}1$}
    \wrongchoice{$\dfrac{7}{5}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $A$ un événement de probabilité $P(A) = 0{,}3$. Que vaut
la probabilité de son contraire $\overline{A}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$-0{,}3$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{0{,}3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q03}
    On lance un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la
probabilité d'obtenir un nombre pair ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{6}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q04}
    Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues,
indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle
est la probabilité qu'elle soit rouge ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{5}{8}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs}
    \wrongchoice{$\dfrac{5}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{8}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q05}
    Un jeu a deux issues : « gagner » ou « perdre ». La
probabilité de gagner est-elle nécessairement $\dfrac{1}{2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : l'équiprobabilité est une hypothèse de modèle, pas
une conséquence du nombre d'issues}
    \wrongchoice{Oui : deux issues, donc une chance sur deux}
    \wrongchoice{Oui, si le jeu est électronique}
    \wrongchoice{Non : la probabilité de gagner est toujours inférieure à
$\dfrac{1}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q06}
    L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes.
Quelle est la probabilité du chemin « $A$ puis $B$ »
(c'est-à-dire de l'événement $A \cap B$) ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$}
    \wrongchoice{$0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$}
    \wrongchoice{$0{,}6$}
    \wrongchoice{$0{,}3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q07}
    Que désigne la notation $P_A(B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La probabilité que $B$ se réalise, \textbf{sachant que} $A$
est réalisé}
    \wrongchoice{La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous les deux}
    \wrongchoice{La probabilité que $A$ se réalise sachant $B$}
    \wrongchoice{Le produit $P(A) \times P(B)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q08}
    Dans un lycée de $100$ élèves, il y a $60$ filles, dont $24$
demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard et on
apprend que c'est une fille. Quelle est la probabilité
qu'elle soit demi-pensionnaire ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{24}{60} = 0{,}4$}
    \wrongchoice{$\dfrac{24}{100} = 0{,}24$}
    \wrongchoice{$\dfrac{60}{100} = 0{,}6$}
    \wrongchoice{$\dfrac{24}{44}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q09}
    En général, les probabilités conditionnelles $P_A(B)$ et
$P_B(A)$ sont-elles égales ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : elles ont des conditions différentes et diffèrent
en général}
    \wrongchoice{Oui : c'est la même intersection $A \cap B$}
    \wrongchoice{Oui, dès que $A$ et $B$ sont compatibles}
    \wrongchoice{Non, elles sont toujours complémentaires ($P_A(B) +
P_B(A) = 1$)}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q10}
    Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec
$P(a) = 0{,}2$ et $P(b) = 0{,}5$. Que vaut $P(c)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{Impossible à déterminer}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q11}
    On simule $10\,000$ lancers d'une pièce équilibrée avec un
programme Python. Qu'observe-t-on pour la fréquence de
« pile », d'après la loi des grands nombres (version
vulgarisée du programme) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est, sauf exception, proche de $0{,}5$}
    \wrongchoice{Elle vaut exactement $0{,}5$}
    \wrongchoice{Après une série de piles, la pièce compense avec plus de
faces}
    \wrongchoice{Rien de prévisible : la fréquence peut être n'importe où
entre $0$ et $1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q12}
    Dans l'arbre ci-dessous, que représente le nombre $0{,}2$
porté par la branche allant de $\overline{A}$ vers $B$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{La probabilité conditionnelle
$P_{\overline{A}}(B)$}
    \wrongchoice{La probabilité $P(B)$}
    \wrongchoice{La probabilité $P(\overline{A} \cap B)$}
    \wrongchoice{La probabilité $P(\overline{A})$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q13}
    On lance un dé à six faces. Que vaut la probabilité de
l'événement « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$ : l'événement est certain}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6}$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q14}
    $A$ et $B$ sont incompatibles (ils ne peuvent pas se
produire en même temps), avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) =
0{,}4$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{$0{,}12$}
    \wrongchoice{$0{,}1$}
    \wrongchoice{Impossible à savoir}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q15}
    On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux « pile » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{4}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q16}
    On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) =
0{,}2$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{$0{,}9$}
    \wrongchoice{$0{,}2$}
    \wrongchoice{$1{,}1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q17}
    On lance deux dés équilibrés et on additionne. Quelle est la
probabilité d'obtenir une somme égale à $7$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{11}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{36}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{7}{36}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q18}
    On sait que $P_A(B) = 0{,}7$. Que vaut $P_A(\bar{B})$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$0{,}7$}
    \wrongchoice{Impossible sans connaître $P(A)$}
    \wrongchoice{$-0{,}7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q19}
    Sur $200$ élèves, le tableau croisé indique $30$ élèves à la
fois internes et sportifs. On choisit un élève au hasard.
Que vaut $P(\text{interne} \cap \text{sportif})$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{30}{200} = 0{,}15$}
    \wrongchoice{$30$}
    \wrongchoice{$\dfrac{30}{100}$}
    \wrongchoice{$0{,}85$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q20}
    Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les
probabilités $0{,}25$, $0{,}45$ et $p$. Que vaut $p$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$p = 0{,}3$}
    \wrongchoice{$p = 0{,}7$}
    \wrongchoice{$p = 0{,}25$}
    \wrongchoice{Impossible à déterminer}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q21}
    Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire
deux boules \textbf{sans remise}. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux rouges ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{5}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{6}{10}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q22}
    On lance deux fois un dé équilibré. Quelle est la
probabilité d'obtenir \textbf{au moins un} six ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{36}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q23}
    Dans un lycée, $P(\text{interne} \cap \text{sportif}) =
0{,}15$ et $P_{\text{interne}}(\text{sportif}) = 0{,}6$.
Que signifie la différence entre ces deux nombres ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}15$ : proportion des élèves à la fois internes et
sportifs dans TOUT le lycée ; $0{,}6$ : proportion de
sportifs PARMI les internes}
    \wrongchoice{Les deux nombres devraient être égaux : il y a une
erreur d'énoncé}
    \wrongchoice{$0{,}6$ est faux : une conditionnelle est toujours plus
petite que l'intersection}
    \wrongchoice{$0{,}15$ concerne les internes, $0{,}6$ les sportifs}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondeprobabilites}{
  \begin{question}{q24}
    « Au loto, soit je gagne, soit je perds : donc j'ai une
chance sur deux. » Que penser de ce raisonnement ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Il est faux : deux issues n'ont aucune raison d'être
équiprobables}
    \wrongchoice{Il est correct : deux issues, donc $\dfrac{1}{2}$
chacune}
    \wrongchoice{Il est correct si on joue une seule fois}
    \wrongchoice{Il est faux car il y a trois issues : gagner, perdre,
match nul}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{secondeprobabilites}
  \insertgroup{secondeprobabilites}
}

\end{document}
