\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Variations et extremums}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Variations et extremums} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q01}
    Que signifie « $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Pour tous $a$ et $b$ de $I$, si $a < b$ alors
$f(a) \leq f(b)$}
    \wrongchoice{$f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses}
    \wrongchoice{$f(a) < f(b)$ pour certains $a < b$ de $I$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q02}
    La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur
$[-4\,;\,4]$. Quel est le maximum de $f$, et en quelle valeur
est-il atteint ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);
  \draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\x,{4*\x/(\x*\x+1)});
  \draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
  \draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);
  \node[blue,font=\small] at (3.4,1.35) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{Le maximum vaut $2$, atteint en $x = 1$}
    \wrongchoice{Le maximum vaut $1$, atteint en $x = 2$}
    \wrongchoice{Le maximum vaut $4$}
    \wrongchoice{Il n'y a pas de maximum, car la courbe redescend}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q03}
    D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle la fonction
$f$ est-elle croissante ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);
  \draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\x,{4*\x/(\x*\x+1)});
  \draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
  \draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);
  \node[blue,font=\small] at (3.4,1.35) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $[-1\,;\,1]$}
    \wrongchoice{Sur $[0\,;\,2]$}
    \wrongchoice{Sur $[-2\,;\,2]$}
    \wrongchoice{Sur $[-4\,;\,-1]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q04}
    Soit $f$ une fonction croissante sur $[0\,;\,10]$. Comment se
comparent $f(3)$ et $f(7)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(3) \leq f(7)$}
    \wrongchoice{$f(3) \geq f(7)$}
    \wrongchoice{$f(3) = f(7)$}
    \wrongchoice{On ne peut pas comparer sans connaître la formule de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q05}
    Quel est le sens de variation de la fonction affine
$f(x) = -2x + 7$ sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Décroissante, car son coefficient directeur $-2$ est
négatif}
    \wrongchoice{Croissante, car $7$ est positif}
    \wrongchoice{Croissante puis décroissante}
    \wrongchoice{Constante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 2$ et
$f(4) = 10$. Quelle est son expression ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(x) = 2x + 2$}
    \wrongchoice{$f(x) = 2x + 10$}
    \wrongchoice{$f(x) = 4x + 2$}
    \wrongchoice{$f(x) = 8x + 2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q07}
    Quel est le tableau de variations de la fonction carré sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier}
    \wrongchoice{Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$, décroissante sur
$[0\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q08}
    La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et
sur $]-\infty\,;\,0[$. Peut-on dire qu'elle est décroissante
sur l'ensemble $]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$ tout
entier ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : par exemple $-1 < 1$ alors que $f(-1) = -1 <
f(1) = 1$, l'ordre n'est pas renversé}
    \wrongchoice{Oui : elle est décroissante des deux côtés, donc partout}
    \wrongchoice{Oui, car sa courbe descend toujours}
    \wrongchoice{Non, car la fonction inverse est croissante sur les
négatifs}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de
$f$ sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$}
    \wrongchoice{$f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$}
    \wrongchoice{$f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$}
    \wrongchoice{$f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur
$\mathbb{R}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $f$ une fonction \textbf{croissante} sur $[1\,;\,5]$. Où $f$
atteint-elle son maximum sur cet intervalle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{En $x = 5$, et ce maximum vaut $f(5)$}
    \wrongchoice{En $x = 1$}
    \wrongchoice{Le maximum vaut $5$}
    \wrongchoice{Elle n'a pas de maximum}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q11}
    Avec $20$ mètres de grillage, on veut délimiter un enclos
rectangulaire (les quatre côtés grillagés). Quelle est l'aire
maximale possible ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$25$ m$^2$, avec un carré de côté $5$}
    \wrongchoice{$24$ m$^2$, avec un rectangle $6 \times 4$}
    \wrongchoice{$100$ m$^2$}
    \wrongchoice{Il n'y a pas de maximum : plus l'enclos est long, plus il
est grand}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q12}
    Une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,7]$ décroît de $f(0) = 5$
à $f(3) = -2$, puis croît de $f(3) = -2$ à $f(7) = 4$. Quel
est le minimum de $f$ sur $[0\,;\,7]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-2$, atteint en $x = 3$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$0$, car c'est le début de l'intervalle}
    \wrongchoice{$4$, la dernière valeur du tableau}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q13}
    Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$, atteint en $x = 0$}
    \wrongchoice{$0$, atteint en $x = 0$}
    \wrongchoice{$3$, atteint en $x = 3$}
    \wrongchoice{Il n'y a pas de minimum}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q14}
    Que signifie « $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Pour tous $a, b$ de $I$ : si $a < b$, alors $f(a) \geq
f(b)$ : l'ordre des images est renversé}
    \wrongchoice{$f(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{Si $a < b$, alors $f(a) \leq f(b)$}
    \wrongchoice{La courbe finit plus bas qu'elle ne commence}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q15}
    Le tableau indique que $f$ est croissante sur $[0\ ;\ 5]$.
Comment se comparent $f(1)$ et $f(4)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(1) \leq f(4)$}
    \wrongchoice{$f(1) \geq f(4)$}
    \wrongchoice{$f(1) = f(4)$}
    \wrongchoice{Impossible sans les valeurs de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q16}
    Quel est le sens de variation de la fonction $f(x) = -2x +
7$ sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Strictement décroissante, car son coefficient directeur
$-2$ est négatif}
    \wrongchoice{Croissante, car $7$ est positif}
    \wrongchoice{Décroissante puis croissante}
    \wrongchoice{Constante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q17}
    $f$ décroît de $8$ à $-2$ sur $[0\ ;\ 3]$, puis croît de
$-2$ à $6$ sur $[3\ ;\ 7]$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Deux : une dans chaque phase (descente et remontée)}
    \wrongchoice{Une seule}
    \wrongchoice{Aucune : $0$ n'apparaît pas dans le tableau}
    \wrongchoice{Trois}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{secondevariationsextremums}{
  \begin{question}{q18}
    Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4$, atteint en $x = 1$}
    \wrongchoice{$4$, atteint en $x = -1$}
    \wrongchoice{$1$, atteint en $x = 4$}
    \wrongchoice{Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{secondevariationsextremums}
  \insertgroup{secondevariationsextremums}
}

\end{document}
