\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Calcul intégral}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Calcul intégral} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q01}
    Soit $f$ continue et \textbf{positive} sur $[a\,;\,b]$. Que
représente $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{L'aire, en unités d'aire, du domaine entre la courbe de
$f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$}
    \wrongchoice{La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$}
    \wrongchoice{L'accroissement $f(b) - f(a)$}
    \wrongchoice{La pente moyenne de la courbe entre $a$ et $b$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q02}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q03}
    Que vaut $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e - 1$}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{$-\dfrac{1}{e^2} + 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q04}
    On sait que $\displaystyle\int_0^2 f = 4$ et
$\displaystyle\int_0^2 g = -1$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^2 \left(2f + 3g\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{$11$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$8$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $f$ continue et \textbf{négative} sur $[0\,;\,2]$, avec
$\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = -3$. Quelle est l'aire du
domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et
les droites $x = 0$ et $x = 2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$-3$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$6$ unités d'aire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q06}
    On sait que $\displaystyle\int_0^2 f = 3$ et
$\displaystyle\int_0^5 f = 10$. Que vaut
$\displaystyle\int_2^5 f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$7$}
    \wrongchoice{$13$}
    \wrongchoice{$-7$}
    \wrongchoice{$30$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec
$\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 9$. Quelle est la valeur
moyenne de $f$ sur $[1\,;\,4]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$\dfrac{9}{4}$}
    \wrongchoice{$27$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q08}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e - 1$}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{$\dfrac{e^2}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q09}
    Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
$f(x) = 4 - x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$
et $x = 2$. Quelle est son aire ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\x,{4-\x*\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;
  \draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);
  \draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{4-\x*\x});
  \node[blue,font=\small] at (3,2.4) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{32}{3}$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$\dfrac{16}{3}$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$16$ unités d'aire}
    \wrongchoice{$8$ unités d'aire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On pose
$F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Que vaut $F'(x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(x)$}
    \wrongchoice{$f'(x)$}
    \wrongchoice{$F(x) - F(a)$}
    \wrongchoice{$f(x) - f(a)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q11}
    Pour approcher $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ avec $f$
continue et \textbf{décroissante}, on découpe $[0\,;\,1]$ en $n$
morceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la
hauteur est prise au bord \textbf{gauche} de chaque morceau. Cette
somme est :
    \begin{choices}
    \correctchoice{Supérieure ou égale à l'intégrale}
    \wrongchoice{Inférieure ou égale à l'intégrale}
    \wrongchoice{Exactement égale à l'intégrale}
    \wrongchoice{Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon $n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q12}
    Sur $[0\,;\,1]$, on a $x \geq x^2$. Quelle est l'aire du
domaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et de
$g(x) = x^2$ sur cet intervalle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{1}{6}$ unité d'aire}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$ unité d'aire}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$ unité d'aire}
    \wrongchoice{$\dfrac{5}{6}$ unité d'aire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q13}
    Que vaut $\displaystyle\int_2^5 3\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$9$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$15$}
    \wrongchoice{$\dfrac{9}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q14}
    Sachant que $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$,
que vaut $\displaystyle\int_1^0 x^2\,dx$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q15}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^t\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$e - 1$}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e + 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q16}
    $f$ est continue et positive sur $[a\ ;\ b]$ (avec $a <
b$). Que peut-on dire de $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est positive ou nulle}
    \wrongchoice{Elle est strictement positive}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire sans calculer}
    \wrongchoice{Elle vaut $f(b) - f(a)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q17}
    Sur $[0\ ;\ 1]$, on sait que $f(t) \leq g(t)$ pour tout
$t$. Que peut-on en déduire ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt$}
    \wrongchoice{$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \geq \int_0^1 g(t)\,dt$}
    \wrongchoice{Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités}
    \wrongchoice{$f(t) = g(t)$ quelque part}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q18}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos t\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$\dfrac{\pi}{2}$}
    \wrongchoice{$-1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q19}
    Que vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} t^3\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$ : la fonction est impaire sur un intervalle centré
en $0$}
    \wrongchoice{$8$}
    \wrongchoice{$16$}
    \wrongchoice{$4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q20}
    On sait que $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0$ avec
$f$ continue. Peut-on en déduire que $f$ est nulle sur
$[-1\ ;\ 1]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : $f(t) = t$ a une intégrale nulle sans être nulle}
    \wrongchoice{Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle}
    \wrongchoice{Oui, si $f$ est continue}
    \wrongchoice{Non, mais $f$ doit s'annuler en $0$ précisément}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q21}
    Par intégration par parties, que vaut
$\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e - 1$}
    \wrongchoice{$\dfrac{e^2}{2}$}
    \wrongchoice{$e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q22}
    Sur $[0\ ;\ 2]$, on sait que $1 \leq f(t) \leq 3$. Quel
encadrement de $\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt$ en
découle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 6$}
    \wrongchoice{$1 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 3$}
    \wrongchoice{$0 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 1$}
    \wrongchoice{Aucun : il faut connaître $f$ exactement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q23}
    Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$. Que vaut
$F'(x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F'(x) = e^{-x^2}$}
    \wrongchoice{$F'(x) = -2x\,e^{-x^2}$}
    \wrongchoice{$F'(x) = e^{-t^2}$}
    \wrongchoice{Impossible : $e^{-t^2}$ n'a pas de primitive explicite}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecalculintegral}{
  \begin{question}{q24}
    Sur $[0\ ;\ 2\pi]$, $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin
t\,dt = 0$. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de
sinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4$ unités d'aire : $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin
t\,dt = 2$ au-dessus, autant en dessous, comptées
positivement}
    \wrongchoice{$0$, comme l'intégrale}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$2\pi$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitecalculintegral}
  \insertgroup{terminalespecialitecalculintegral}
}

\end{document}
