\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Concentration et loi des grands nombres}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Concentration et loi des grands nombres} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q01}
    Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de
variance $V$. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
tout réel $\delta > 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \geq
\dfrac{V}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta}$}
    \wrongchoice{$P\left(X \geq \delta\right) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $X$ d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V = 4$. Que
donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - 10| \geq 4\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}25$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 1$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - 10| \geq 4\right) = 0{,}25$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q03}
    Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait
que la borne $\dfrac{V}{\delta^2}$ est proportionnelle à la
variance $V$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Moins une variable est dispersée, plus ses grands écarts à
la moyenne sont improbables}
    \wrongchoice{Plus la variance est grande, plus la variable est proche de
sa moyenne}
    \wrongchoice{La variance donne la probabilité exacte des écarts}
    \wrongchoice{La borne ne sert que si $V = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q04}
    Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que dit
l'inégalité de concentration pour $\delta > 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{n\,\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{nV}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) = \dfrac{V}{n\,
\delta^2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q05}
    Soit une variable de variance $V = 1$. On veut garantir, via
l'inégalité de concentration, que
$P\left(|M_n - \mu| \geq 0{,}5\right) \leq 0{,}05$. Quelle
taille $n$ suffit ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$n \geq 80$}
    \wrongchoice{$n \geq 20$}
    \wrongchoice{$n \geq 400$}
    \wrongchoice{$n \geq 8$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q06}
    Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un
échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Pour tout $\delta > 0$, $P\left(|M_n - \mu| \geq
\delta\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$}
    \wrongchoice{$M_n$ devient exactement égale à $\mu$ pour $n$ assez grand}
    \wrongchoice{$M_n$ devient constante pour $n$ assez grand}
    \wrongchoice{La somme $S_n$ tend vers $n\mu$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q07}
    On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit
la loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle se rapproche de $0{,}5$ avec une probabilité d'écart
qui tend vers $0$}
    \wrongchoice{Après une série de « pile », un « face » devient plus
probable pour compenser}
    \wrongchoice{Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de
« face » dès que $n$ est pair}
    \wrongchoice{La fréquence oscille sans se stabiliser}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q08}
    Pour une variable $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type
$\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| \geq 2\sigma\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au plus $\dfrac{1}{4}$, quelle que soit la loi de $X$}
    \wrongchoice{Environ $0{,}05$, comme le montrent les simulations}
    \wrongchoice{Exactement $\dfrac{1}{4}$}
    \wrongchoice{Au plus $\dfrac{1}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q09}
    Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille
d'échantillon $n$ par $4$ (à $\delta$ fixé). Que devient la
borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est divisée par $4$}
    \wrongchoice{Elle est divisée par $2$}
    \wrongchoice{Elle est divisée par $16$}
    \wrongchoice{Elle est inchangée, seul $\delta$ compte}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que peut-on
déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| < \delta\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \geq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$}
    \wrongchoice{On ne peut rien en déduire}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q11}
    Soit $S_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ et $F_n = \dfrac{S_n}{n}$
la fréquence de succès. Que vaut $V(F_n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{p(1-p)}{n}$}
    \wrongchoice{$np(1-p)$}
    \wrongchoice{$p(1-p)$}
    \wrongchoice{$\dfrac{p}{n}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q12}
    Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle vaut pour \textbf{toute} variable aléatoire admettant une
variance, sans rien connaître de sa loi}
    \wrongchoice{Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart}
    \wrongchoice{Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales}
    \wrongchoice{Elle remplace le calcul de l'espérance}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q13}
    Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la
borne $\dfrac{V(X)}{a^2}$ quand on double le seuil $a$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est divisée par $4$}
    \wrongchoice{Elle est divisée par $2$}
    \wrongchoice{Elle double}
    \wrongchoice{Elle ne change pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q14}
    On simule $10\,000$ lancers d'un dé équilibré. Autour de
quelle valeur la fréquence d'apparition du six
doit-elle se stabiliser ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Autour de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$}
    \wrongchoice{Autour de $\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{Autour de $6$}
    \wrongchoice{Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q15}
    $X$ a pour espérance $\mu = 100$ et pour variance $V(X) =
25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P(|X - 100| \geq 10)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = 0{,}25$}
    \wrongchoice{$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{10} = 2{,}5$}
    \wrongchoice{$P(|X - 100| \geq 10) = 0{,}25$ exactement}
    \wrongchoice{$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{10}{25} = 0{,}4$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q16}
    Avec $V(X) = 25$, l'inégalité donne $P(|X - \mu| \geq 4)
\leq \dfrac{25}{16} \approx 1{,}56$. Que faut-il en
conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Rien : une probabilité est toujours $\leq 1$, la borne
est ici sans contenu}
    \wrongchoice{Que l'événement est certain}
    \wrongchoice{Que l'inégalité est fausse dans ce cas}
    \wrongchoice{Qu'il faut recalculer la variance}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q17}
    $F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages ($V(F) \leq
\dfrac{1}{4n}$). Quelle taille $n$ garantit, par
Bienaymé-Tchebychev, $P(|F - p| \geq 0{,}05) \leq
0{,}05$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$n \geq 2000$, car $\dfrac{1}{4n \times 0{,}05^2} \leq
0{,}05 \iff n \geq \dfrac{1}{4 \times 0{,}05^3}$}
    \wrongchoice{$n \geq 400$}
    \wrongchoice{$n \geq 20$}
    \wrongchoice{Aucun $n$ ne suffit}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}{
  \begin{question}{q18}
    $F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages indépendants
de probabilité $p$. Que vaut $E(F)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$E(F) = p$ : la fréquence vise la bonne cible, quelle
que soit la taille $n$}
    \wrongchoice{$E(F) = np$}
    \wrongchoice{$E(F)$ se rapproche de $p$ seulement quand $n$ grandit}
    \wrongchoice{$E(F) = \dfrac{p}{n}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
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  \insertgroup{terminalespecialiteconcentrationloigrandsnombres}
}

\end{document}
