\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Continuité}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Continuité} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q01}
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$.
Que signifie « $f$ est continue en $a$ » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$}
    \wrongchoice{$f$ est définie en $a$}
    \wrongchoice{$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe}
    \wrongchoice{$f$ est dérivable en $a$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q02}
    Quelle affirmation est vraie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur
cet intervalle}
    \wrongchoice{Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur
cet intervalle}
    \wrongchoice{Continuité et dérivabilité sont équivalentes}
    \wrongchoice{Une fonction continue n'est jamais dérivable}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q03}
    Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec $f(1) = -2$ et
$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle admet \textbf{au moins} une solution dans $[1\,;\,4]$}
    \wrongchoice{Elle admet \textbf{exactement} une solution dans $[1\,;\,4]$}
    \wrongchoice{Elle n'admet aucune solution}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q04}
    Soit $f$ continue et \textbf{strictement croissante} sur
$[1\,;\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire
de l'équation $f(x) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle admet une unique solution dans $[1\,;\,4]$}
    \wrongchoice{Elle admet au moins deux solutions}
    \wrongchoice{Elle peut ne pas avoir de solution}
    \wrongchoice{La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ (mais \textbf{pas nécessairement
continue}) avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$. L'équation
$f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : sans continuité, la fonction peut sauter par-dessus
$0$}
    \wrongchoice{Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires}
    \wrongchoice{Oui, car $f$ change de signe}
    \wrongchoice{Oui, si de plus $f$ est croissante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la
suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que $(u_n)$
converge vers un réel $\ell$. Que vérifie $\ell$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f(\ell) = \ell$}
    \wrongchoice{$f(\ell) = 0$}
    \wrongchoice{$\ell = u_0$}
    \wrongchoice{$f'(\ell) = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$,
avec $f(1) < 0 < f(2)$. On calcule $f(1{,}5) < 0$. Dans quel
intervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution
de $f(x) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$[1{,}5\,;\,2]$}
    \wrongchoice{$[1\,;\,1{,}5]$}
    \wrongchoice{$[1{,}25\,;\,1{,}75]$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q08}
    Laquelle de ces fonctions est continue sur $\mathbb{R}$ tout
entier ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto x^3 - 2x + 1$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \sqrt{x}$}
    \wrongchoice{La fonction qui vaut $-1$ si $x < 0$ et $1$ si $x \geq 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,1]$,
avec $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. On note $\alpha$ l'unique
solution de $f(x) = 0$. Sachant que $f(0{,}5) = 0{,}8$, que
peut-on dire de $\alpha$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[$}
    \wrongchoice{$\alpha \in \,]0{,}5\,;\,1[$}
    \wrongchoice{$\alpha = 0{,}8$}
    \wrongchoice{$\alpha \in \,]0{,}4\,;\,0{,}5[$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et
$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la
suite $\left(f(u_n)\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle converge vers $7$}
    \wrongchoice{Elle converge vers $2$}
    \wrongchoice{Elle converge vers $f(7)$}
    \wrongchoice{On ne peut rien dire sans monotonie de $f$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q11}
    Une fonction $f$, continue sur $[0\,;\,4]$, croît strictement
de $f(0) = -3$ à $f(2) = 5$, puis décroît strictement de
$f(2) = 5$ à $f(4) = 1$. Combien l'équation $f(x) = 0$
admet-elle de solutions sur $[0\,;\,4]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Exactement une}
    \wrongchoice{Exactement deux}
    \wrongchoice{Aucune}
    \wrongchoice{Une infinité}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$. Que garantit exactement le
théorème des valeurs intermédiaires ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
\textbf{au moins une fois} sur $[a\,;\,b]$}
    \wrongchoice{Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
\textbf{exactement une fois}}
    \wrongchoice{$f$ ne prend aucune valeur en dehors de
$[f(a)\,;\,f(b)]$}
    \wrongchoice{$f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q13}
    La fonction partie entière (qui à $x$ associe le plus grand
entier inférieur ou égal à $x$) est-elle continue en $2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : elle saute de $1$ à $2$ en $x = 2$}
    \wrongchoice{Oui : elle est définie en $2$}
    \wrongchoice{Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues}
    \wrongchoice{Non, car elle n'est pas définie en $2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q14}
    Pourquoi la fonction $f(x) = e^{x^2 + 1}$ est-elle continue
sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{C'est la composée de fonctions continues (un polynôme,
puis l'exponentielle)}
    \wrongchoice{Parce qu'elle est strictement positive}
    \wrongchoice{Parce qu'elle est définie partout}
    \wrongchoice{Il faudrait vérifier la limite en chaque point}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q15}
    Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Pourquoi l'équation $f(x) = 0$
admet-elle une solution dans $[0\ ;\ 1]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ est continue, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : le
TVI conclut}
    \wrongchoice{$f(0{,}5) = 0$ exactement}
    \wrongchoice{Tout polynôme s'annule quelque part}
    \wrongchoice{Parce que $f$ est croissante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q16}
    $f$ est continue et strictement croissante, et la
calculatrice donne $f(1{,}32) \approx -0{,}004 < 0$ et
$f(1{,}33) \approx 0{,}011 > 0$. Que peut-on conclure sur la
solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1{,}32 < \alpha < 1{,}33$ : un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$}
    \wrongchoice{$\alpha = 1{,}325$ exactement}
    \wrongchoice{$\alpha = 1{,}33$, la valeur où $f$ devient positive}
    \wrongchoice{Rien : la calculatrice ne prouve rien}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q17}
    $f$ est continue et \textbf{strictement croissante} sur
$[2\ ;\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de
solutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\ ;\ 5]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$}
    \wrongchoice{Au moins une, peut-être plusieurs}
    \wrongchoice{Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$}
    \wrongchoice{Deux : une en montant, une en descendant}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitecontinuite}{
  \begin{question}{q18}
    Une fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ 2]$ vérifie $f(0) = -1$
et $f(2) = 1$, mais l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune
solution. Comment est-ce possible ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f$ n'est pas continue : elle saute par-dessus la valeur
$0$}
    \wrongchoice{C'est impossible : le TVI l'interdit}
    \wrongchoice{$f$ n'est pas définie en $0$}
    \wrongchoice{$f$ prend des valeurs complexes entre les deux}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitecontinuite}
  \insertgroup{terminalespecialitecontinuite}
}

\end{document}
