\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\title{Dérivation et convexité}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Dérivation et convexité} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q01}
    Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = x^3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 3x^2$}
    \wrongchoice{$f'(x) = x^2$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 3x^3$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{x^4}{4}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $f$ dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à
la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = f'(a)(x - a) + f(a)$}
    \wrongchoice{$y = f(a)(x - a) + f'(a)$}
    \wrongchoice{$y = f'(a)\,x + f(a)$}
    \wrongchoice{$y = f'(x)(x - a) + f(a)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q03}
    Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Quelle est la
dérivée du produit $uv$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(uv)' = u'v + uv'$}
    \wrongchoice{$(uv)' = u'v'$}
    \wrongchoice{$(uv)' = u'v - uv'$}
    \wrongchoice{$(uv)' = u' + v'$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q04}
    Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = e^{2x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = 2\,e^{2x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = e^{2x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2\,e^{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x\,e^{2x - 1}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec
$f'(x) = (x - 2)(x + 1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
décroissante ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $[-1\,;\,2]$}
    \wrongchoice{Sur $]-\infty\,;\,-1]$}
    \wrongchoice{Sur $[2\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. À quelle
condition $f$ est-elle convexe sur $I$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{$f''(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{$f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{$f(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $f$ deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de
$f$ admette un point d'inflexion en $x = a$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Que $f''$ s'annule en $a$ \textbf{en changeant de signe}}
    \wrongchoice{Que $f''(a) = 0$, cela suffit}
    \wrongchoice{Que $f'(a) = 0$}
    \wrongchoice{Que la tangente en $a$ soit horizontale}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q08}
    La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente la fonction $f$
définie par $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$
est-elle convexe ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur $[0\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{Sur $]-\infty\,;\,0]$}
    \wrongchoice{Sur $[-1\,;\,1]$}
    \wrongchoice{Nulle part : la fonction n'est pas convexe}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q09}
    La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente
$f(x) = x^3 - 3x$. En quel(s) point(s) admet-elle un point
d'inflexion ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au point d'abscisse $0$ uniquement}
    \wrongchoice{Aux points d'abscisses $-1$ et $1$}
    \wrongchoice{Au point d'abscisse $1$ uniquement}
    \wrongchoice{Elle n'en admet aucun}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur un intervalle
$I$. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses
tangentes sur $I$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Au-dessus de chacune de ses tangentes}
    \wrongchoice{En dessous de chacune de ses tangentes}
    \wrongchoice{Elle traverse chacune de ses tangentes}
    \wrongchoice{Au-dessus de ses sécantes}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q11}
    Que peut-on dire de l'inégalité $e^x \geq 1 + x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est vraie pour tout réel $x$ : la courbe de $\exp$,
convexe, est au-dessus de sa tangente en $0$}
    \wrongchoice{Elle est vraie uniquement pour $x \geq 0$}
    \wrongchoice{Elle est fausse : c'est $e^x \leq 1 + x$ qui est vraie}
    \wrongchoice{Elle est vraie seulement au voisinage de $0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitederivationconvexite}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(a) = 0$.
La fonction $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en
$a$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : pour $f(x) = x^3$ en $a = 0$, $f'(0) = 0$ sans
extremum}
    \wrongchoice{Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux}
    \wrongchoice{Oui, dès que $f$ est deux fois dérivable}
    \wrongchoice{Non : $f'(a) = 0$ signifie que $a$ est un point d'inflexion}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitederivationconvexite}
  \insertgroup{terminalespecialitederivationconvexite}
}

\end{document}
