\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Fonction logarithme népérien}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Fonction logarithme népérien} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q01}
    Que vaut $\ln(1)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{Ce nombre n'est pas défini}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q02}
    Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, que vaut $\ln(ab)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln(a) + \ln(b)$}
    \wrongchoice{$\ln(a) \times \ln(b)$}
    \wrongchoice{$\ln(a + b)$}
    \wrongchoice{$\ln(a) - \ln(b)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q03}
    Que vaut $\ln(e^3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$e^3$}
    \wrongchoice{$3e$}
    \wrongchoice{$\ln(3)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q04}
    Quelle est la dérivée de la fonction $\ln$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \ln(x) \cdot \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto e^x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q05}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 2x \, \ln(x^2 + 1)$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{2x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q06}
    Quelle est la solution de l'équation $e^x = 5$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = \ln(5)$}
    \wrongchoice{$x = \dfrac{5}{e}$}
    \wrongchoice{$x = e^5$}
    \wrongchoice{$x = 5 - e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q07}
    Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$\ln(x) \leq 2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$]0\,;\,e^2]$}
    \wrongchoice{$]-\infty\,;\,e^2]$}
    \wrongchoice{$[e^2\,;\,+\infty[$}
    \wrongchoice{$]0\,;\,2]$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q08}
    Quelle est la limite de $\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{Elle n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q09}
    Quelle est la limite de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q10}
    La figure ci-dessous montre les courbes de $\exp$ (en bleu) et
de $\ln$ (en rouge). Par quelle transformation la courbe de
$\ln$ se déduit-elle de celle de $\exp$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[dashed] (-2.7,-2.7) -- (4.7,4.7);
  \node[font=\small,rotate=45] at (3.35,3.75) {$y=x$};
  \draw[domain=-2.7:1.53,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{exp(\x)});
  \draw[domain=0.07:4.7,smooth,samples=60,thick,red] plot (\x,{ln(\x)});
  \node[blue,font=\small] at (0.45,3.3) {$y=e^x$};
  \node[red,font=\small] at (3.7,0.8) {$y=\ln x$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$}
    \wrongchoice{La symétrie par rapport à l'axe des abscisses}
    \wrongchoice{La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées}
    \wrongchoice{Une translation}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q11}
    Quelle est la limite de $x \ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q12}
    Que vaut $\ln(2) + \ln(3)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln(6)$}
    \wrongchoice{$\ln(5)$}
    \wrongchoice{$\ln(9)$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q13}
    Comment s'écrit $\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\ln 4$, soit $-2\ln 2$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{\ln 4}$}
    \wrongchoice{$\ln 1 - 4$}
    \wrongchoice{$4^{-1}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q14}
    Comment s'écrit $\ln 8$ en fonction de $\ln 2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln 8 = 3\ln 2$}
    \wrongchoice{$\ln 8 = (\ln 2)^3$}
    \wrongchoice{$\ln 8 = \ln 2 + 6$}
    \wrongchoice{$\ln 8 = 4\ln 2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q15}
    Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Pour $0 < x < 1$}
    \wrongchoice{Pour $x < 0$}
    \wrongchoice{Pour $x < e$}
    \wrongchoice{Jamais : un logarithme est toujours positif}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q16}
    Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(2x - 6)$
est-elle définie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$]3\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$[3\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$]0\ ;\ +\infty[$}
    \wrongchoice{$\mathbb{R}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q17}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$f'(x) = \ln x + 1$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{$f'(x) = \ln x$}
    \wrongchoice{$f'(x) = 1 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q18}
    Pour quels entiers $n$ a-t-on $0{,}8^n < 0{,}01$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$n \geq 21$, car $n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}
\approx 20{,}6$ (l'inégalité change de sens : $\ln
0{,}8 < 0$)}
    \wrongchoice{$n \leq 20$, car $n < \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}$}
    \wrongchoice{Aucun : une puissance reste toujours au-dessus de
$0{,}01$}
    \wrongchoice{$n \geq 5$, car $0{,}8 \times 5 > 0{,}01$… non, essayons
$n = 5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q19}
    Pour tout réel $x$, que vaut $\ln\left(e^x \times e\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x + 1$}
    \wrongchoice{$x$}
    \wrongchoice{$e^{x+1}$}
    \wrongchoice{$x\,e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q20}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$ : le logarithme dépasse tout seuil, mais très
lentement}
    \wrongchoice{Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit}
    \wrongchoice{$e$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q21}
    La dérivée seconde de $\ln$ est $-\dfrac{1}{x^2} < 0$.
Quelle inégalité en découle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ : la courbe est
sous sa tangente en $1$}
    \wrongchoice{$\ln x \geq x - 1$ pour tout $x > 0$}
    \wrongchoice{$\ln x \leq 0$ pour tout $x > 0$}
    \wrongchoice{$\ln x \leq x^2$ seulement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q22}
    Combien l'équation $\ln x + \ln(x - 3) = \ln 4$ a-t-elle de
solutions ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une seule : $x = 4$ (la racine $x = -1$ est hors
domaine)}
    \wrongchoice{Deux : $x = 4$ et $x = -1$}
    \wrongchoice{Aucune}
    \wrongchoice{Une seule : $x = 7$, car $4 + 3 = 7$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q23}
    Quelles sont les solutions de $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = 0$ et $x = \ln 2$}
    \wrongchoice{$x = 1$ et $x = 2$}
    \wrongchoice{$x = \ln 3$}
    \wrongchoice{Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitefonctionlogarithme}{
  \begin{question}{q24}
    L'égalité $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ est-elle vraie pour
tous réels $a, b > 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : $\ln$ transforme les produits en sommes, pas les
sommes ($\ln(1 + 1) = \ln 2 \neq \ln 1 + \ln 1 = 0$)}
    \wrongchoice{Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme}
    \wrongchoice{Oui, mais seulement si $a = b$}
    \wrongchoice{Non, sauf pour $a, b < 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitefonctionlogarithme}
  \insertgroup{terminalespecialitefonctionlogarithme}
}

\end{document}
