\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Limites des fonctions}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Limites des fonctions} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q01}
    Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$-1$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote
\textbf{verticale} à la courbe de $f$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{La droite d'équation $x = 3$}
    \wrongchoice{La droite d'équation $y = 3$}
    \wrongchoice{La droite d'équation $x = 0$}
    \wrongchoice{La droite d'équation $y = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q03}
    Quelle est la limite de $x^2 - x$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{Elle n'existe pas, car c'est une forme indéterminée}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q04}
    Quelle est la limite de $\dfrac{e^x}{x^3}$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q05}
    Quelle est la limite de $\dfrac{x + 1}{x - 2}$ quand $x$ tend
vers $2$ par valeurs supérieures ($x \to 2^+$) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{Elle n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q06}
    La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction
$f$ ; les droites en pointillés sont ses asymptotes. Quelles
sont les équations de ces asymptotes ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-6.7,-2.7) grid (5.7,7.7);
  \draw[->] (-6.9,0) -- (5.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,7.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-6,-4,-2,2,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.25) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,2,4,6} \node[left,font=\small] at (-0.25,\y) {$\y$};
  \draw[dashed,red,thick] (-2,-2.7) -- (-2,7.7);
  \draw[dashed,red,thick] (-6.7,3) -- (5.7,3);
  \node[red,font=\small,below left] at (-2,-1.5) {$x=-2$};
  \node[red,font=\small,above] at (4.6,3.05) {$y=3$};
  \draw[domain=-6.7:-3.05,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{3-5/(\x+2)});
  \draw[domain=-1.06:5.7,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{3-5/(\x+2)});
  \node[blue,font=\small] at (3.3,1.1) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x = -2$ et $y = 3$}
    \wrongchoice{$x = 3$ et $y = -2$}
    \wrongchoice{$x = -2$ seulement}
    \wrongchoice{$y = 3$ seulement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q07}
    Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote
horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$}
    \wrongchoice{$f(2) = +\infty$}
    \wrongchoice{$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$}
    \wrongchoice{$f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \geq x$ pour tout réel
$x$. Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$}
    \wrongchoice{Rien, il faudrait aussi un majorant}
    \wrongchoice{$f$ est croissante}
    \wrongchoice{$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q09}
    Quelle est la limite de $\sqrt{x^2 + 1} - x$ quand $x$ tend
vers $+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q10}
    Quelle est la limite de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ quand $x$ tend
vers $0$ par valeurs supérieures ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$-\infty$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q11}
    Le calcul d'une limite aboutit à la forme
« $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». Que peut-on en conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Rien pour l'instant : il faut transformer l'expression
(factoriser, quantité conjuguée, croissances comparées…)}
    \wrongchoice{La limite n'existe pas}
    \wrongchoice{La limite vaut $1$, car les infinis se compensent}
    \wrongchoice{La limite vaut $0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q12}
    Quelle est la limite de $2x^3 - x + 5$ quand $x$ tend vers
$-\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q13}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$2$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{3}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q14}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{2}{3}$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{Forme indéterminée}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q15}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$}
    \wrongchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q16}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{La limite n'existe pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q17}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$, par encadrement : $-\dfrac{1}{x} \leq
\dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$}
    \wrongchoice{La limite n'existe pas, car $\cos x$ oscille sans limite}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q18}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$ : on pose $X = -x^2 \to -\infty$, et $e^X \to 0$}
    \wrongchoice{$+\infty$, car l'exponentielle explose toujours}
    \wrongchoice{$1$, car $e^0 = 1$}
    \wrongchoice{$-\infty$, à cause du signe moins}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q19}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$-\infty$}
    \wrongchoice{$+\infty$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q20}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^{x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0$ : l'exponentielle l'emporte sur $x$}
    \wrongchoice{$-\infty$, car $x \to -\infty$}
    \wrongchoice{$+\infty$, car l'exponentielle gagne toujours}
    \wrongchoice{$-1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q21}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$ : c'est le nombre dérivé de $e^x$ en $0$}
    \wrongchoice{$0$, car le numérateur tend vers $0$}
    \wrongchoice{$+\infty$, car on divise par $0$}
    \wrongchoice{$e$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q22}
    Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les
asymptotes de sa courbe ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$}
    \wrongchoice{Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$}
    \wrongchoice{Verticale $x = 1$ seulement}
    \wrongchoice{Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q23}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x -
\sqrt{x}\right)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$+\infty$, car $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$}
    \wrongchoice{$0$, car les deux termes se compensent}
    \wrongchoice{$-\infty$, car on soustrait un infini}
    \wrongchoice{Forme indéterminée : on ne peut pas conclure}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitelimitesdefonctions}{
  \begin{question}{q24}
    Une fonction $f$ n'a pas de limite finie en $+\infty$.
Peut-on en déduire qu'elle tend vers $+\infty$ ou
$-\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : elle peut osciller sans limite, comme $\cos x$}
    \wrongchoice{Oui : sans limite finie, il ne reste que l'infini}
    \wrongchoice{Oui, sauf si la fonction est périodique}
    \wrongchoice{Non : toute fonction a forcément une limite, quitte à
être infinie}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitelimitesdefonctions}
  \insertgroup{terminalespecialitelimitesdefonctions}
}

\end{document}
