\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Orthogonalité et distances dans l'espace}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Orthogonalité et distances dans l'espace} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q01}
    Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$
et $\vec{v}(3\,;\,0\,;\,2)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$(3\,;\,0\,;\,-2)$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q02}
    Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(2\,;\,1\,;\,-1)$ et
$\vec{v}(1\,;\,0\,;\,2)$ sont-ils orthogonaux ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$}
    \wrongchoice{Non, car aucune coordonnée commune n'est nulle}
    \wrongchoice{Non, car ils ne sont pas colinéaires}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans connaître l'angle}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q03}
    Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$\sqrt{3}$}
    \wrongchoice{$5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q04}
    Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et
$B(3\,;\,2\,;\,1)$. Que vaut la distance $AB$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$3$}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$\sqrt{3}$}
    \wrongchoice{$5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q05}
    Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur porté par
$\mathcal{P}$}
    \wrongchoice{Un vecteur contenu dans $\mathcal{P}$}
    \wrongchoice{Un vecteur orthogonal à \textbf{un} vecteur du plan}
    \wrongchoice{Un vecteur de norme $1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q06}
    Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ pour deux vecteurs
quelconques de l'espace ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$}
    \wrongchoice{$\left(\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\right)^2$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q07}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 2$,
$\|\vec{v}\| = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$. Que vaut
l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\theta = \dfrac{\pi}{3}$}
    \wrongchoice{$\theta = \dfrac{\pi}{6}$}
    \wrongchoice{$\theta = \dfrac{\pi}{2}$}
    \wrongchoice{$\cos\theta = 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q08}
    Soient deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}$
et $\vec{n_2}$. À quelle condition ces plans sont-ils
perpendiculaires ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$}
    \wrongchoice{$\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires}
    \wrongchoice{Les plans n'ont aucun point commun}
    \wrongchoice{$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $H$ le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan
$\mathcal{P}$. Quelle propriété caractérise $H$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$}
    \wrongchoice{$H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus éloigné de $M$}
    \wrongchoice{$H$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal{P}$}
    \wrongchoice{$H$ est un point quelconque où $(MH)$ coupe $\mathcal{P}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et
$\mathcal{P}$ un plan. À quelle condition $d$ est-elle
orthogonale à $\mathcal{P}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de
$\mathcal{P}$}
    \wrongchoice{$\vec{u}$ est orthogonal à un vecteur de $\mathcal{P}$}
    \wrongchoice{$\vec{u}$ est un vecteur du plan $\mathcal{P}$}
    \wrongchoice{$d$ et $\mathcal{P}$ n'ont aucun point commun}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q11}
    Dans un repère orthonormé, soit $M(0\,;\,0\,;\,5)$ et
$\mathcal{P}$ le plan d'équation $z = 1$. Quelle est la
distance de $M$ à $\mathcal{P}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$1$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q12}
    Dans l'espace, deux droites sont dites \textbf{orthogonales}
lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Que
peut-on dire de plus ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elles ne sont pas forcément sécantes : orthogonales et non
coplanaires est possible}
    \wrongchoice{Deux droites orthogonales se coupent toujours à angle droit}
    \wrongchoice{Orthogonales signifie parallèles à des plans
perpendiculaires}
    \wrongchoice{Deux droites orthogonales à une même troisième sont
parallèles entre elles}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q13}
    Pour tout vecteur $\vec{u}$, que vaut $\vec{u} \cdot
\vec{u}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\|\vec{u}\|^2$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\|$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$2\vec{u}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q14}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs \textbf{non nuls} avec
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Que peut-on conclure ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux}
    \wrongchoice{L'un des deux vecteurs est nul}
    \wrongchoice{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q15}
    On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$ et $\vec{u} \cdot
\vec{w} = -1$. Que vaut $\vec{u} \cdot (2\vec{v} +
\vec{w})$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{Impossible sans connaître les coordonnées}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q16}
    Soient $A(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$, $B(2\ ;\ 3\ ;\ 1)$ et
$C(3\ ;\ 0\ ;\ 1)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en
$A$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =
1 \times 2 + 2 \times (-1) + 0 \times 0 = 0$}
    \wrongchoice{Non : aucun côté n'est parallèle à un axe}
    \wrongchoice{Oui, car $AB = AC$}
    \wrongchoice{On ne peut pas conclure sans mesurer l'angle}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q17}
    On donne $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$, $\|\vec{u}\| = 2$ et
$\|\vec{v}\| = 6$. Que vaut l'angle entre $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$60°$, car $\cos\theta = \dfrac{6}{2 \times 6} =
\dfrac{1}{2}$}
    \wrongchoice{$30°$}
    \wrongchoice{$90°$}
    \wrongchoice{$6°$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}{
  \begin{question}{q18}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Que vaut
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| + \|\vec{v}\|^2$}
    \wrongchoice{$\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}
  \insertgroup{terminalespecialiteorthogonalitedistancesespace}
}

\end{document}
