\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Primitives et équations différentielles}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Primitives et équations différentielles} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q01}
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Que
signifie « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$}
    \wrongchoice{$f$ est dérivable sur $I$ et $f' = F$}
    \wrongchoice{$F(x) = f(x) + C$ pour une constante $C$}
    \wrongchoice{$F(0) = 0$ et $F$ est continue}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q02}
    Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto x^2$ sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto \dfrac{x^3}{3}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto 2x$}
    \wrongchoice{$x \mapsto x^3$}
    \wrongchoice{$x \mapsto 3x^3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q03}
    Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction continue
$f$ sur un intervalle $I$. Que peut-on affirmer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Il existe une constante $C$ telle que $G(x) = F(x) + C$
pour tout $x$ de $I$}
    \wrongchoice{$F = G$}
    \wrongchoice{$G(x) = F(x) + ax + b$ avec $a \neq 0$ possible}
    \wrongchoice{$G = kF$ pour une constante $k$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q04}
    Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto e^{3x}$ sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto \dfrac{e^{3x}}{3}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto 3e^{3x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto e^{3x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \dfrac{e^{4x}}{4}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q05}
    Quelle fonction est une primitive de
$f(x) = x\,(x^2 + 1)^3$ sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{8}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$}
    \wrongchoice{$F(x) = (x^2 + 1)^4$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^2}{2}\,(x^2+1)^3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $F(x) = (x - 1)\,e^x$. Que vaut $F'(x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x\,e^x$}
    \wrongchoice{$(x - 1)\,e^x$}
    \wrongchoice{$e^x$}
    \wrongchoice{$(x + 1)\,e^x$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q07}
    Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Les fonctions $x \mapsto C\,e^{3x}$, où $C$ est une
constante réelle}
    \wrongchoice{La seule fonction $x \mapsto e^{3x}$}
    \wrongchoice{Les fonctions $x \mapsto C\,e^{-3x}$}
    \wrongchoice{Les fonctions $x \mapsto 3x + C$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q08}
    Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 2y + 6$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = C\,e^{2x} - 3$, où $C$ est une constante réelle}
    \wrongchoice{$y = C\,e^{2x} + 3$}
    \wrongchoice{$y = C\,e^{2x} + 6$}
    \wrongchoice{$y = C\,e^{-2x} - 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q09}
    Quelle est l'unique solution de $y' = 2y + 6$ vérifiant
$y(0) = 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = 4\,e^{2x} - 3$}
    \wrongchoice{$y = e^{2x} - 3$}
    \wrongchoice{$y = 1 \cdot e^{2x} - 3$... c'est-à-dire $C = y(0)$}
    \wrongchoice{$y = 4\,e^{2x} + 3$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q10}
    Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto \sin(x)$ sur
$\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto -\cos(x)$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \cos(x)$}
    \wrongchoice{$x \mapsto -\sin(x)$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \dfrac{\sin^2(x)}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q11}
    Soit $a < 0$. Comment se comportent les solutions non nulles de
$y' = ay$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elles tendent vers $0$}
    \wrongchoice{Elles tendent vers $+\infty$}
    \wrongchoice{Elles oscillent}
    \wrongchoice{Elles deviennent constantes égales à $a$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q12}
    Quelle fonction est une primitive de
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$x \mapsto 2\sqrt{x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \sqrt{x}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$}
    \wrongchoice{$x \mapsto \ln(\sqrt{x})$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q13}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \ln x$}
    \wrongchoice{$F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^0}{0}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \ln\left(\dfrac{1}{x}\right)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q14}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \cos(2x)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$}
    \wrongchoice{$F(x) = \sin(2x)$}
    \wrongchoice{$F(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x)$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2\sin(2x)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q15}
    Quelles fonctions admettent des primitives sur un
intervalle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Toute fonction continue sur cet intervalle}
    \wrongchoice{Seulement les polynômes}
    \wrongchoice{Seulement les fonctions dérivables}
    \wrongchoice{Seulement les fonctions positives}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q16}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \ln(x^2 + 1)$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{x^2}{\frac{x^3}{3} + x}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2x\ln(x^2 + 1)$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q17}
    Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = e^{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^2\,e^{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{x^2}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2\,e^{x^2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q18}
    L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution
constante. Laquelle ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$y = 2$ : la valeur qui annule le second membre}
    \wrongchoice{$y = 6$ : le terme constant de l'équation}
    \wrongchoice{$y = -3$ : le coefficient de $y$}
    \wrongchoice{$y = 0$ : une constante est toujours solution}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q19}
    Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{8}$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{4}$}
    \wrongchoice{$F(x) = 3(2x + 1)^2$}
    \wrongchoice{$F(x) = \dfrac{(2x+1)^4}{2}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q20}
    Quelle est LA primitive $F$ de $f(x) = 2x$ vérifiant
$F(1) = 0$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$F(x) = x^2 - 1$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^2$}
    \wrongchoice{$F(x) = x^2 + 1$}
    \wrongchoice{$F(x) = 2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q21}
    La fonction $f(x) = (x + 1)e^x$ est-elle solution de
l'équation $y' = y + e^x$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui : $f'(x) = (x + 2)e^x$ et $f(x) + e^x = (x + 2)e^x$}
    \wrongchoice{Non : $f'(x) = e^x$, qui ne vaut pas $f(x) + e^x$}
    \wrongchoice{Non : les solutions de $y' = y + e^x$ sont les $Ce^x$}
    \wrongchoice{On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q22}
    Une quantité $N(t)$ vérifie $N' = -0{,}1\,N$ avec $N(0) =
100$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$N(t) = 100\,e^{-0{,}1t}$}
    \wrongchoice{$N(t) = 100 - 0{,}1t$}
    \wrongchoice{$N(t) = e^{-0{,}1t}$}
    \wrongchoice{$N(t) = 100\,e^{0{,}1t}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q23}
    Combien l'équation $y' = 2y + 6$ admet-elle de solutions
vérifiant $y(0) = 1$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Exactement une : $y(x) = 4e^{2x} - 3$}
    \wrongchoice{Une infinité, comme toute équation différentielle}
    \wrongchoice{Aucune : $y(0) = 1$ est incompatible avec l'équation}
    \wrongchoice{Deux : une croissante et une décroissante}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}{
  \begin{question}{q24}
    $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$. Le produit
$FG$ est-il une primitive de $fg$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : $(FG)' = fG + Fg$, pas $fg$ (exemple : $f = g =
1$, $FG = x^2$ dont la dérivée est $2x \neq 1$)}
    \wrongchoice{Oui : les opérations passent aux primitives}
    \wrongchoice{Oui, à une constante près}
    \wrongchoice{Non, sauf si $f$ et $g$ sont des polynômes}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}
  \insertgroup{terminalespecialiteprimitivesequationsdifferentielles}
}

\end{document}
