\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\title{Schéma de Bernoulli et loi binomiale}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Schéma de Bernoulli et loi binomiale} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q01}
    Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Une expérience aléatoire à exactement deux issues, succès
(probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$)}
    \wrongchoice{Une expérience répétée $p$ fois}
    \wrongchoice{Une expérience dont les issues sont équiprobables}
    \wrongchoice{Une expérience à deux issues répétée indéfiniment}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q02}
    Dans quelle situation la variable $X$ suit-elle une loi
binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$X$ compte les succès dans la répétition de $n$ épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p$}
    \wrongchoice{$X$ compte les succès dans $n$ tirages \textbf{sans remise} dans
une urne}
    \wrongchoice{$X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves}
    \wrongchoice{$X$ prend ses valeurs entre $0$ et $n$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q03}
    On répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de
Bernoulli avec $p = 0{,}3$. Quelle est la probabilité de la
liste d'issues (succès, échec, succès) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}063$}
    \wrongchoice{$0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3$}
    \wrongchoice{$0{,}3^3 = 0{,}027$}
    \wrongchoice{$0{,}3 \times 0{,}7^2 = 0{,}147$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q04}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Que vaut $P(X = 2)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}2048$}
    \wrongchoice{$0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}02048$}
    \wrongchoice{$0{,}2^2 = 0{,}04$}
    \wrongchoice{$\dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}32$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q05}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$}
    \wrongchoice{$0{,}3$}
    \wrongchoice{$20$}
    \wrongchoice{$4{,}2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q06}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4{,}2$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05$}
    \wrongchoice{$14$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q07}
    On représente un schéma de Bernoulli à $n = 3$ épreuves par un
arbre. Combien de chemins réalisent exactement $2$ succès ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dbinom{3}{2} = 3$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$8$}
    \wrongchoice{$6$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$. Que vaut
$P(X \geq 1)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375$}
    \wrongchoice{$0{,}5^4 = 0{,}0625$}
    \wrongchoice{$0{,}5$}
    \wrongchoice{$4 \times 0{,}5 = 2$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q09}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}9)$. La calculatrice ne
fournit que les probabilités cumulées $P(X \leq k)$. Quelle
écriture donne $P(X \geq 8)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$1 - P(X \leq 7)$}
    \wrongchoice{$1 - P(X \leq 8)$}
    \wrongchoice{$P(X \leq 8)$}
    \wrongchoice{$P(X = 8)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q10}
    Une urne contient $10$ boules dont $3$ gagnantes. On tire $5$
boules et on note $X$ le nombre de boules gagnantes. Dans quel
cas $X$ suit-il exactement une loi binomiale ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Si les tirages se font \textbf{avec remise}}
    \wrongchoice{Si les tirages se font \textbf{sans remise}}
    \wrongchoice{Dans les deux cas}
    \wrongchoice{Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules
gagnantes que de tirages}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q11}
    Un QCM comporte $7$ questions ; chacune propose $4$ options
dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au
hasard. Quelle est la loi du nombre $X$ de bonnes réponses ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$}
    \wrongchoice{$X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{3}{4}\right)$}
    \wrongchoice{$X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{7}\right)$}
    \wrongchoice{$X \sim \mathcal{B}\!\left(28\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)$, donc $E(X) = 40$.
Quelle interprétation est correcte ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Sur un grand nombre de répétitions de l'expérience
complète, le nombre de succès vaut \textbf{en moyenne} environ
$40$}
    \wrongchoice{À chaque expérience, $X$ vaut exactement $40$}
    \wrongchoice{$P(X = 40)$ vaut environ $0{,}4$}
    \wrongchoice{Il est impossible d'obtenir plus de $40$ succès}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q13}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p =
0{,}2$. Que vaut $P(X = 0)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$0{,}8^3 = 0{,}512$}
    \wrongchoice{$0{,}2^3 = 0{,}008$}
    \wrongchoice{$0$}
    \wrongchoice{$1 - 0{,}2 = 0{,}8$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q14}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =
0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\sigma(X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 5$}
    \wrongchoice{$\sigma(X) = 25$}
    \wrongchoice{$\sigma(X) = 50$}
    \wrongchoice{$\sigma(X) = 10$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q15}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}5$. Que vaut $P(X \leq 1)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} =
\dfrac{5}{16}$}
    \wrongchoice{$P(X = 1) = \dfrac{4}{16}$ seulement}
    \wrongchoice{$\dfrac{1}{2}$, par symétrie}
    \wrongchoice{$\dfrac{2}{16}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q16}
    On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte
les lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS
une loi binomiale ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à
l'avance : on s'arrête au premier succès}
    \wrongchoice{Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli}
    \wrongchoice{Parce que les lancers ne sont pas indépendants}
    \wrongchoice{Mais si : tout comptage suit une loi binomiale}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q17}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =
0{,}5$. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$P(X = k) = P(X = 10 - k)$ pour tout $k$}
    \wrongchoice{$P(X = k) = P(X = k + 1)$}
    \wrongchoice{$P(X = k) = \dfrac{1}{11}$ pour tout $k$}
    \wrongchoice{$P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}{
  \begin{question}{q18}
    Un jeu se répète $50$ fois : chaque partie est gagnée avec
la probabilité $0{,}3$ et rapporte alors $2$ euros (sinon
rien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$30$ euros : $E(X) = 50 \times 0{,}3 = 15$ parties
gagnées en moyenne, à $2$ euros chacune}
    \wrongchoice{$100$ euros : $50 \times 2$}
    \wrongchoice{$15$ euros}
    \wrongchoice{Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}
  \insertgroup{terminalespecialiteschemabernoulliloibinomiale}
}

\end{document}
