\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Sommes de variables aléatoires}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Sommes de variables aléatoires} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q01}
    Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et
$E(Y) = 5$. Que vaut $E(X + Y)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$8$, sans hypothèse supplémentaire}
    \wrongchoice{$8$, mais seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes}
    \wrongchoice{$15$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans connaître les lois de $X$ et $Y$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q02}
    Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 2$. Que vaut
$E(3X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$6$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$18$}
    \wrongchoice{$5$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q03}
    Soit $X$ une variable aléatoire avec $V(X) = 2$. Que vaut
$V(3X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$18$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$12$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q04}
    Sous quelle hypothèse a-t-on $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes}
    \wrongchoice{Toujours, comme pour l'espérance}
    \wrongchoice{Lorsque $X$ et $Y$ ont la même loi}
    \wrongchoice{Lorsque $E(X) = E(Y) = 0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q05}
    Soient $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 1$.
Que vaut $V(X - Y)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{$3$}
    \wrongchoice{$4$}
    \wrongchoice{$\sqrt{17}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q06}
    Soit un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable
d'écart-type $\sigma = 5$, et $M_n$ la moyenne de
l'échantillon. Que vaut $\sigma(M_n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\dfrac{5}{\sqrt{100}} = 0{,}5$}
    \wrongchoice{$5$}
    \wrongchoice{$\dfrac{5}{100} = 0{,}05$}
    \wrongchoice{$50$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q07}
    Soit $S_n = X_1 + \cdots + X_{50}$ la somme d'un échantillon de
taille $50$ d'une variable d'espérance $\mu = 2$. Que vaut
$E(S_n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$100$}
    \wrongchoice{$2$}
    \wrongchoice{$52$}
    \wrongchoice{$25$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q08}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Comment retrouve-t-on la
formule $V(X) = np(1-p)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{En écrivant $X$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli
indépendantes, chacune de variance $p(1-p)$}
    \wrongchoice{En calculant directement $E(X^2)$ par la formule binomiale}
    \wrongchoice{En dérivant l'espérance $np$ par rapport à $p$}
    \wrongchoice{On ne peut pas : cette formule est admise sans justification}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q09}
    On multiplie par $4$ la taille $n$ d'un échantillon. Que
devient la variance de la moyenne $M_n$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elle est divisée par $4$}
    \wrongchoice{Elle est divisée par $2$}
    \wrongchoice{Elle est divisée par $16$}
    \wrongchoice{Elle ne change pas}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q10}
    Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$. Que vaut $E(M_n)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\mu$, quelle que soit la taille $n$}
    \wrongchoice{$\dfrac{\mu}{n}$}
    \wrongchoice{$n\mu$}
    \wrongchoice{Cela dépend de la variance de la loi}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q11}
    Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires \textbf{quelconques}
(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités
est toujours vraie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$}
    \wrongchoice{$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$}
    \wrongchoice{$E(XY) = E(X)\,E(Y)$}
    \wrongchoice{$\sigma(X + Y) = \sigma(X) + \sigma(Y)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q12}
    On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la
somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut
$3{,}5$, que vaut $E(S)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$7$}
    \wrongchoice{$6$}
    \wrongchoice{$3{,}5$}
    \wrongchoice{$12{,}25$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q13}
    $X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 10$. Que
vaut $E(X + 5)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$15$}
    \wrongchoice{$10$}
    \wrongchoice{$50$}
    \wrongchoice{Impossible sans connaître la loi de $X$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q14}
    $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut $V(X + 5)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$4$ : une translation ne change pas la dispersion}
    \wrongchoice{$9$}
    \wrongchoice{$100$}
    \wrongchoice{$4 + 25 = 29$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q15}
    $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires avec $E(X) = 8$
et $E(Y) = 3$. Que vaut $E(X - Y)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$}
    \wrongchoice{$11$}
    \wrongchoice{$24$}
    \wrongchoice{On ne peut pas savoir sans l'indépendance de $X$ et $Y$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q16}
    $X$ a pour variance $V(X) = 9$. Que vaut $V(-X)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$9$}
    \wrongchoice{$-9$}
    \wrongchoice{$81$}
    \wrongchoice{$0$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q17}
    $X$ et $Y$ sont \textbf{indépendantes}, avec $\sigma(X) = 3$ et
$\sigma(Y) = 4$. Que vaut $\sigma(X + Y)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$5$ : on additionne les variances ($9 + 16 = 25$), puis
racine}
    \wrongchoice{$7$ : la somme des écarts-types}
    \wrongchoice{$25$}
    \wrongchoice{$12$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}{
  \begin{question}{q18}
    L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle toujours
vraie ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$
(contre-exemple : $Y = -X$)}
    \wrongchoice{Oui : la variance est linéaire comme l'espérance}
    \wrongchoice{Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation}
    \wrongchoice{Oui, dès que $X$ et $Y$ ont la même loi}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}
  \insertgroup{terminalespecialitesommesvariablesaleatoires}
}

\end{document}
