\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\title{Vecteurs, droites et plans de l'espace}
\date{Mathématiques}

\begin{document}

\noindent\textbf{Vecteurs, droites et plans de l'espace} \hfill \textit{Mathématiques}\\[0.4em]
Nom~: \dotfill\ Prénom~: \dotfill

\bigskip

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q01}
    Dans un repère de l'espace, on donne
$\vec{u}(2\,;\,-4\,;\,6)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2\,;\,3)$.
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $\vec{u} = 2\vec{v}$}
    \wrongchoice{Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales}
    \wrongchoice{Non, car $2 + (-4) + 6 \neq 1 + (-2) + 3$}
    \wrongchoice{On ne peut pas le savoir sans connaître le repère}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q02}
    Par quelles données une droite de l'espace est-elle
entièrement déterminée ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un point et un vecteur directeur non nul}
    \wrongchoice{Un seul point}
    \wrongchoice{Un vecteur directeur seul}
    \wrongchoice{Deux vecteurs non colinéaires}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q03}
    Par quelles données un plan de l'espace est-il entièrement
déterminé ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Un point et deux vecteurs non colinéaires}
    \wrongchoice{Un point et un vecteur non nul}
    \wrongchoice{Trois points quelconques}
    \wrongchoice{Deux droites quelconques de l'espace}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q04}
    On donne $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,0)$, $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,0)$ et
$\vec{w}(2\,;\,3\,;\,0)$. Ces trois vecteurs sont-ils
coplanaires ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$}
    \wrongchoice{Non, car aucun n'est colinéaire à un autre}
    \wrongchoice{Non, car ils sont dans l'espace}
    \wrongchoice{Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q05}
    Que faut-il pour que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$,
$\vec{w}$ forment une base de l'espace ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Qu'ils soient non coplanaires}
    \wrongchoice{Qu'ils soient deux à deux non colinéaires}
    \wrongchoice{Qu'ils soient deux à deux orthogonaux}
    \wrongchoice{Qu'ils aient tous la même norme}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q06}
    Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, comment s'exprime le
vecteur $\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale) en fonction de
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (2.9,0.75);
  \coordinate (D) at (0.9,0.75);
  \coordinate (E) at (0,1.9);
  \coordinate (F) at (2,1.9);
  \coordinate (G) at (2.9,2.65);
  \coordinate (H) at (0.9,2.65);
  \draw[dashed] (D) -- (A);
  \draw[dashed] (D) -- (C);
  \draw[dashed] (D) -- (H);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);
  \draw (A) -- (E) -- (F);
  \draw (E) -- (H) -- (G);
  \draw[->,thick,blue] (A) -- (G);
  \node[below left,font=\small] at (A) {$A$};
  \node[below right,font=\small] at (B) {$B$};
  \node[right,font=\small] at (C) {$C$};
  \node[left,font=\small] at (D) {$D$};
  \node[left,font=\small] at (E) {$E$};
  \node[above right,font=\small] at (F) {$F$};
  \node[above right,font=\small] at (G) {$G$};
  \node[above left,font=\small] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q07}
    Dans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.
Sont-elles nécessairement parallèles ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Non : elles peuvent aussi être non coplanaires}
    \wrongchoice{Oui, comme dans le plan}
    \wrongchoice{Oui, si elles sont toutes les deux horizontales}
    \wrongchoice{Non : elles sont forcément confondues}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q08}
    Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, on munit l'espace du repère
$\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$. Quelles
sont les coordonnées du sommet $G$ ?
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (2.9,0.75);
  \coordinate (D) at (0.9,0.75);
  \coordinate (E) at (0,1.9);
  \coordinate (F) at (2,1.9);
  \coordinate (G) at (2.9,2.65);
  \coordinate (H) at (0.9,2.65);
  \draw[dashed] (D) -- (A);
  \draw[dashed] (D) -- (C);
  \draw[dashed] (D) -- (H);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);
  \draw (A) -- (E) -- (F);
  \draw (E) -- (H) -- (G);
  \draw[->,thick,red] (A) -- (B);
  \draw[->,thick,red] (A) -- (D);
  \draw[->,thick,red] (A) -- (E);
  \node[below left,font=\small] at (A) {$A$};
  \node[below right,font=\small] at (B) {$B$};
  \node[right,font=\small] at (C) {$C$};
  \node[left,font=\small] at (D) {$D$};
  \node[left,font=\small] at (E) {$E$};
  \node[above right,font=\small] at (F) {$F$};
  \node[above right,font=\small] at (G) {$G$};
  \node[above left,font=\small] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{choices}
    \correctchoice{$G(1\,;\,1\,;\,1)$}
    \wrongchoice{$G(1\,;\,1\,;\,0)$}
    \wrongchoice{$G(0\,;\,1\,;\,1)$}
    \wrongchoice{$G(1\,;\,0\,;\,1)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q09}
    Dans le cube $ABCDEFGH$ (mêmes notations que précédemment,
$E$ au-dessus de $A$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la
position relative des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Elles sont non coplanaires}
    \wrongchoice{Elles sont sécantes}
    \wrongchoice{Elles sont parallèles}
    \wrongchoice{Elles sont confondues}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q10}
    Soient $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,1\,;\,5)$. Quel vecteur
est directeur de la droite $(AB)$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\overrightarrow{AB}(2\,;\,-1\,;\,2)$}
    \wrongchoice{$(4\,;\,3\,;\,8)$}
    \wrongchoice{$(2\,;\,1\,;\,2)$}
    \wrongchoice{$(1\,;\,2\,;\,3)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q11}
    Soient $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(3\,;\,4\,;\,2)$ et
$C(4\,;\,6\,;\,2)$. Ces trois points sont-ils alignés ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui, car $\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}$}
    \wrongchoice{Non, car $C$ n'est pas le milieu de $[AB]$}
    \wrongchoice{Non, car les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont
différentes}
    \wrongchoice{On ne peut pas conclure sans calculer les distances}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q12}
    Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les
vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. À quelle
condition un point $M$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Il existe des réels $a$ et $b$ tels que
$\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$}
    \wrongchoice{Il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q13}
    Pour trois points $A$, $B$, $C$ de l'espace, que vaut
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$\overrightarrow{AC}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{CA}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{BB}$}
    \wrongchoice{$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q14}
    Soient $A(1\ ;\ 4\ ;\ -2)$ et $B(3\ ;\ 0\ ;\ 6)$. Quelles
sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$I(2\ ;\ 2\ ;\ 2)$}
    \wrongchoice{$I(4\ ;\ 4\ ;\ 4)$}
    \wrongchoice{$I(1\ ;\ 2\ ;\ 4)$}
    \wrongchoice{$I(2\ ;\ 2\ ;\ 4)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q15}
    Les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ -1\ ;\ 3)$ et
$\vec{v}(-4\ ;\ 2\ ;\ -6)$ sont-ils colinéaires ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Oui : $\vec{v} = -2\,\vec{u}$}
    \wrongchoice{Non : leurs coordonnées ne sont pas égales}
    \wrongchoice{Non : ils ne sont pas de même sens}
    \wrongchoice{On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q16}
    Dans une base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ de
l'espace, on a $\vec{w} = 3\vec{i} - \vec{k}$. Quelles sont
les coordonnées de $\vec{w}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$(3\ ;\ 0\ ;\ -1)$}
    \wrongchoice{$(3\ ;\ -1)$}
    \wrongchoice{$(3\ ;\ -1\ ;\ 0)$}
    \wrongchoice{$(0\ ;\ 3\ ;\ -1)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q17}
    Comment vérifier que $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ (non colinéaires) ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} =
a\vec{u} + b\vec{v}$ (système sur les coordonnées)}
    \wrongchoice{Vérifier que $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement}
    \wrongchoice{Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle
commune}
    \wrongchoice{C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont
toujours coplanaires}
    \end{choices}
  \end{question}
}

\element{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}{
  \begin{question}{q18}
    Soient $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$, $B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et
$C(0\ ;\ 3\ ;\ 1)$. Quelles sont les coordonnées du point
$M$ défini par $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AC}$ ?
    \begin{choices}
    \correctchoice{$M(4\ ;\ -1\ ;\ -1)$}
    \wrongchoice{$M(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$}
    \wrongchoice{$M(4\ ;\ 2\ ;\ -2)$}
    \wrongchoice{$M(2\ ;\ 2\ ;\ -4)$}
    \end{choices}
  \end{question}
}


\onecopy{1}{
  \shufflegroup{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}
  \insertgroup{terminalespecialitevecteursdroitesplansespace}
}

\end{document}
