\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Fonctions convexes}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Convexité et sécantes}
    Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle
est-elle définie au programme ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sa courbe est en dessous de chacune de ses sécantes
(cordes) sur l'intervalle}
        \item[B.] Sa courbe est au-dessus de ses sécantes
        \item[C.] La fonction est croissante
        \item[D.] La fonction est positive
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Critère de la dérivée seconde}
    Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée seconde
$f''(x) = 6x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $[0\,;\,+\infty[$, car $f''(x) \geq 0$ y est vérifié}
        \item[B.] Sur $\mathbb{R}$ tout entier
        \item[C.] Sur $]-\infty\,;\,0]$
        \item[D.] Nulle part, car $f$ change de signe
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Point d'inflexion}
    Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de $f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un point où la courbe change de convexité (la tangente y
traverse la courbe)}
        \item[B.] Un point où la fonction atteint un extremum
        \item[C.] Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses
        \item[D.] Un point où la tangente est verticale
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Lire la convexité sur une courbe}
    La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. Quelle
lecture de convexité est correcte ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Concave sur $]-\infty\,;\,0]$, convexe sur
$[0\,;\,+\infty[$, inflexion à l'origine}
        \item[B.] Convexe sur $]-\infty\,;\,0]$, concave sur
$[0\,;\,+\infty[$
        \item[C.] Convexe partout, car la courbe monte à la fin
        \item[D.] Points d'inflexion en $-1$ et $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Convexité et tangentes}
    Soit $f$ dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Comment
la courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au-dessus de chacune de ses tangentes}
        \item[B.] En dessous de ses tangentes
        \item[C.] Elle traverse chaque tangente
        \item[D.] Cela dépend du signe de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Convexité des fonctions de référence}
    Parmi ces fonctions, laquelle est \textbf{concave} sur son
ensemble de définition ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto \ln x$}
        \item[B.] $x \mapsto e^x$
        \item[C.] $x \mapsto x^2$
        \item[D.] $x \mapsto x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Convexité et croissance de $f'$}
    Soit $f$ dérivable sur $I$. Quelle propriété de $f'$
caractérise la convexité de $f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'$ est croissante sur $I$}
        \item[B.] $f'$ est positive sur $I$
        \item[C.] $f'$ est constante sur $I$
        \item[D.] $f'$ s'annule au milieu de $I$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Trouver un point d'inflexion par le calcul}
    Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En
quelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En $x = 2$ : $f''$ s'y annule en changeant de signe}
        \item[B.] En $x = 12$
        \item[C.] En $x = 0$, car $f(0) = 0$
        \item[D.] Il n'y en a pas, car $f''$ s'annule
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Croissance qui s'essouffle}
    La production $f(t)$ d'une usine croît, mais de moins en
moins vite. Comment cela se traduit-il sur $f'$ et $f''$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f' > 0$ et $f'' < 0$ : croissante et concave}
        \item[B.] $f' > 0$ et $f'' > 0$
        \item[C.] $f' < 0$ et $f'' < 0$
        \item[D.] $f' > 0$ et $f'' = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} La courbe de Lorenz}
    Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie
$(0\,;\,0)$ à $(1\,;\,1)$ : en abscisse la part cumulée de
la population, en ordonnée la part cumulée des richesses.
Quelles sont ses propriétés mathématiques ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Croissante et convexe, sous la bissectrice $y = x$}
        \item[B.] Décroissante et concave
        \item[C.] Croissante et au-dessus de la bissectrice
        \item[D.] Périodique
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Utiliser la position sécante-courbe}
    Soit $f$ convexe sur $[0\,;\,4]$, avec $f(0) = 1$ et
$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(2) \leq 5$ : la courbe est sous la corde, qui vaut
$5$ au milieu}
        \item[B.] $f(2) = 5$ exactement
        \item[C.] $f(2) \geq 5$
        \item[D.] On ne peut rien dire sur $f(2)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Ne pas confondre les trois étages}
    Soit $f$ deux fois dérivable avec, en $x = a$ : $f(a) > 0$,
$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$. Comment la courbe se
comporte-t-elle près de $a$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe
(la descente freine)}
        \item[B.] Sous l'axe, en montée
        \item[C.] Au sommet d'une bosse
        \item[D.] En un point d'inflexion
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
