\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Fonctions : continuité, limites, logarithme}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Continuité et tracé}
    Intuitivement, que signifie « $f$ est continue sur un
intervalle » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sa courbe se trace sur cet intervalle sans lever le
crayon}
        \item[B.] Sa courbe est une droite
        \item[C.] La fonction est croissante
        \item[D.] La fonction est positive
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} TVI et stricte monotonie}
    Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$,
avec $f(0) = -3$ et $f(4) = 9$. Que peut-on dire de
l'équation $f(x) = 5$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle admet une unique solution dans $[0\,;\,4]$}
        \item[B.] Elle admet au moins deux solutions
        \item[C.] Elle n'admet aucune solution, car $5 \neq f(0)$ et
$5 \neq f(4)$
        \item[D.] La solution est $x = 5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Limite et asymptote}
    On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Que
peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe
en $+\infty$}
        \item[B.] La droite $x = 2$ est asymptote verticale
        \item[C.] La courbe coupe l'axe des ordonnées en $2$
        \item[D.] La fonction est constante égale à $2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Le logarithme, réciproque de l'exponentielle}
    Comment la fonction $\ln$ est-elle définie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Comme la fonction réciproque de l'exponentielle :
$\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$ (pour $x > 0$)}
        \item[B.] Comme la dérivée de l'exponentielle
        \item[C.] Comme l'inverse : $\ln(x) = \dfrac{1}{e^x}$
        \item[D.] Comme la primitive de l'exponentielle
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Équation fonctionnelle du logarithme}
    Pour $a, b > 0$, que vaut $\ln(a \times b)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln a + \ln b$}
        \item[B.] $\ln a \times \ln b$
        \item[C.] $\ln(a + b)$
        \item[D.] $\ln a - \ln b$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Dérivée du logarithme}
    Quelle est la dérivée de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto \dfrac{1}{x}$}
        \item[B.] $x \mapsto \ln x$
        \item[C.] $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$
        \item[D.] $x \mapsto e^x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Un seuil résolu par $\ln(q^n) = n \ln q$}
    On cherche le plus petit entier $n$ tel que
$0{,}8^n < 0{,}1$. En utilisant $\ln(0{,}8^n) = n\ln(0{,}8)$
(avec $\ln 0{,}8 \approx -0{,}223$ et
$\ln 0{,}1 \approx -2{,}303$), que trouve-t-on ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$n = 11$, car l'inéquation équivaut à $n > \dfrac{\ln
0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$}
        \item[B.] $n = 10$, car $10{,}3$ s'arrondit à $10$
        \item[C.] $n = 11$, mais sans renverser l'inégalité
        \item[D.] Aucun $n$ ne convient : une puissance reste positive
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Dérivée de $f(ax + b)$}
    Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$g'(x) = 3\,e^{3x + 1}$}
        \item[B.] $g'(x) = e^{3x + 1}$
        \item[C.] $g'(x) = (3x + 1)\,e^{3x}$
        \item[D.] $g'(x) = 3\,e^{3x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Dérivée de $\ln(u)$}
    Quelle est la dérivée de $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$}
        \item[B.] $h'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$
        \item[C.] $h'(x) = \ln(2x)$
        \item[D.] $h'(x) = \dfrac{2x}{\ln(x^2 + 1)}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Résoudre avec le logarithme}
    Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = \dfrac{\ln 10}{2}$}
        \item[B.] $x = \ln 5$
        \item[C.] $x = \dfrac{10}{2e}$
        \item[D.] $x = \ln 10 - 2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Limites du logarithme}
    Quelles sont les limites de $\ln x$ en $0^+$ et en
$+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$}
        \item[B.] $0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$
        \item[C.] $-\infty$ en $0^+$ et $e$ en $+\infty$
        \item[D.] Elles n'existent pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Nombre de solutions par le tableau de variations}
    Une fonction continue $f$ décroît de $8$ à $-1$ sur
$[0\,;\,3]$ puis croît de $-1$ à $2$ sur $[3\,;\,6]$.
Combien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions sur
$[0\,;\,6]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Deux : une sur chaque branche de monotonie}
        \item[B.] Une seule
        \item[C.] Aucune
        \item[D.] Trois
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Les deux valeurs à connaître}
    Que valent $\ln 1$ et $\ln e$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$}
        \item[B.] $\ln 1 = 1$ et $\ln e = e$
        \item[C.] $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 0$
        \item[D.] $\ln 1$ n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Décomposer $\ln 6$}
    Comment s'écrit $\ln 6$ en fonction de $\ln 2$ et
$\ln 3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$}
        \item[B.] $\ln 6 = \ln 2 \times \ln 3$
        \item[C.] $\ln 6 = \ln(2 + 3) + \ln 1$
        \item[D.] $\ln 6 = 2\ln 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Où $\ln$ est-il négatif ?}
    Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Pour $0 < x < 1$}
        \item[B.] Pour $x < 0$
        \item[C.] Jamais : un logarithme est positif
        \item[D.] Pour $x < e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Écrire $\ln 16$ avec $\ln 2$}
    Comment s'écrit $\ln 16$ en fonction de $\ln 2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln 16 = 4\ln 2$}
        \item[B.] $\ln 16 = (\ln 2)^4$
        \item[C.] $\ln 16 = 8\ln 2$
        \item[D.] $\ln 16 = \ln 2 + 14$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Domaine de $\ln(3 - x)$}
    Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(3 - x)$ est-elle
définie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$]-\infty\ ;\ 3[$}
        \item[B.] $]3\ ;\ +\infty[$
        \item[C.] $]0\ ;\ +\infty[$
        \item[D.] $]-\infty\ ;\ 3]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Résoudre $\ln x \geq 1$}
    Quel est l'ensemble des solutions de $\ln x \geq 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$[e\ ;\ +\infty[$}
        \item[B.] $[1\ ;\ +\infty[$
        \item[C.] $[0\ ;\ +\infty[$
        \item[D.] $]0\ ;\ e]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Simplifier $e^{\ln 5}$}
    Que vaut $e^{\ln 5}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] $\ln 5$
        \item[C.] $e \times 5$
        \item[D.] $e^5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Résoudre $e^x = 7$}
    Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = \ln 7$}
        \item[B.] $x = \dfrac{7}{e}$
        \item[C.] $x = 7 - e$
        \item[D.] Aucune solution : $7$ n'est pas une puissance de $e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Dérivée de $x\ln x$}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur $]0\ ;\
+\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \ln x + 1$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{1}{x}$
        \item[C.] $f'(x) = \ln x$
        \item[D.] $f'(x) = 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Limite de $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$ : le logarithme croît infiniment plus lentement que
$x$}
        \item[B.] $+\infty$ : le numérateur tend vers l'infini
        \item[C.] $1$ : deux infinis s'équilibrent
        \item[D.] La limite n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} Résoudre $\ln(2x) = \ln(x + 3)$}
    Quelle est la solution de $\ln(2x) = \ln(x + 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 3$ (et le domaine $x > 0$ est respecté)}
        \item[B.] $x = -3$
        \item[C.] $x = 1$
        \item[D.] Aucune : deux logarithmes différents ne sont jamais
égaux
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Le logarithme en $0^+$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x$, et que dire de la
courbe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale}
        \item[B.] $0$ : le logarithme s'annule au bord
        \item[C.] $-1$
        \item[D.] La limite n'existe pas car $\ln 0$ n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
