\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Intégration}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} L'intégrale comme aire}
    Pour $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$, que
représente $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{L'aire, en unités d'aire, entre la courbe, l'axe des
abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$}
        \item[B.] La variation $f(b) - f(a)$
        \item[C.] La pente moyenne de la courbe
        \item[D.] Le maximum de $f$ sur $[a\,;\,b]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Calcul par une primitive}
    Que vaut $\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$8$}
        \item[B.] $4$
        \item[C.] $9$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Relation de Chasles}
    Sachant $\displaystyle\int_0^3 f = 7$ et
$\displaystyle\int_3^8 f = 5$, que vaut
$\displaystyle\int_0^8 f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$12$}
        \item[B.] $35$
        \item[C.] $2$
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans connaître $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Valeur moyenne}
    La vitesse d'un véhicule sur l'intervalle $[0\,;\,2]$
(heures) vérifie $\displaystyle\int_0^2 v(t)\,dt = 150$
(kilomètres). Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$75$ km/h}
        \item[B.] $150$ km/h
        \item[C.] $300$ km/h
        \item[D.] $75$ km
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Méthode des rectangles}
    Pour approcher $\displaystyle\int_0^1 f$ avec $f$
\textbf{croissante}, on somme les aires de rectangles dont la
hauteur est prise au bord \textbf{gauche} de chaque subdivision.
Cette approximation est :\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Inférieure ou égale à l'intégrale}
        \item[B.] Supérieure ou égale à l'intégrale
        \item[C.] Exactement égale à l'intégrale
        \item[D.] Tantôt au-dessus, tantôt en dessous
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Intégrale d'une fonction négative}
    Soit $f$ continue et \textbf{négative} sur $[0\,;\,4]$, le
domaine entre sa courbe et l'axe ayant une aire de $6$
unités. Que vaut $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-6$}
        \item[B.] $6$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] Impossible : une intégrale est toujours positive
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Aire sous l'exponentielle}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$e - 1$}
        \item[B.] $e$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $e + 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} La fonction aire}
    Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ et $F(x) =
\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Que dit le théorème du
programme sur $F$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F$ est dérivable et $F' = f$}
        \item[B.] $F$ est constante
        \item[C.] $F = f$
        \item[D.] $F' = f'$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Aire entre deux courbes}
    Sur $[0\,;\,2]$, on a $f(x) \geq g(x)$. Comment se calcule
l'aire du domaine compris entre les deux courbes ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - g(x)\right) dx$}
        \item[B.] $\displaystyle\int_0^2 f + \int_0^2 g$
        \item[C.] $\displaystyle\int_0^2 f \times \int_0^2 g$
        \item[D.] $\displaystyle\int_0^2 g - \int_0^2 f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} La moyenne entre les bornes}
    Une fonction continue vérifie $2 \leq f(x) \leq 8$ sur
$[0\,;\,5]$. Que peut-on dire de sa valeur moyenne $\mu$ sur
cet intervalle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2 \leq \mu \leq 8$}
        \item[B.] $\mu = 5$ exactement
        \item[C.] $10 \leq \mu \leq 40$
        \item[D.] On ne peut rien dire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Aire sous une parabole}
    Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
$f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses. Quelle est son
aire ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\x,{4-\x*\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;
  \draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);
  \draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{4-\x*\x});
  \node[blue,font=\small] at (3,2.4) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{32}{3}$ unités d'aire}
        \item[B.] $16$ unités d'aire
        \item[C.] $\dfrac{16}{3}$ unités d'aire
        \item[D.] $0$ : les deux moitiés se compensent
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Estimer une aire par Monte-Carlo}
    Pour estimer l'aire sous une courbe dans le carré unité, on
tire $10\,000$ points au hasard dans le carré et on compte
la proportion de points situés \textbf{sous} la courbe. Pourquoi
cette méthode fonctionne-t-elle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La proportion de points sous la courbe approche le
rapport des aires (loi des grands nombres)}
        \item[B.] Les points tirés se placent d'eux-mêmes sous la courbe
        \item[C.] La méthode donne l'aire exacte dès $100$ points
        \item[D.] Elle ne fonctionne que pour des aires rectangulaires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Intégrale d'une constante}
    Que vaut $\displaystyle\int_1^4 5\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$15$}
        \item[B.] $5$
        \item[C.] $20$
        \item[D.] $\dfrac{15}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Échanger les bornes}
    Sachant $\displaystyle\int_0^2 f = 7$, que vaut
$\displaystyle\int_2^0 f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-7$}
        \item[B.] $7$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $\dfrac{1}{7}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Linéarité de l'intégrale}
    On donne $\displaystyle\int_0^1 f = 4$ et
$\displaystyle\int_0^1 g = -2$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^1 (3f + g)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10$}
        \item[B.] $14$
        \item[C.] $6$
        \item[D.] $2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Signe d'une intégrale}
    $f$ est continue et \textbf{positive} sur $[0\ ;\ 3]$. Que
peut-on dire de $\displaystyle\int_0^3 f(t)\,dt$ sans la
calculer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est positive ou nulle}
        \item[B.] Elle est strictement positive
        \item[C.] Rien : il faut calculer
        \item[D.] Elle vaut exactement l'aire du rectangle $3 \times
\max f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Encadrer sans calculer}
    Sur $[0\ ;\ 4]$, on sait que $2 \leq f(t) \leq 5$. Quel
encadrement de $\displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt$ en
découle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$8 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 20$}
        \item[B.] $2 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 5$
        \item[C.] $0 \leq \displaystyle\int_0^4 f(t)\,dt \leq 4$
        \item[D.] Aucun : il faut l'expression exacte de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Calculer $\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt$}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1 - \dfrac{1}{e}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{e} - 1$
        \item[C.] $e - 1$
        \item[D.] $-e^{-1}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
