\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Lois à densité}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ?}
    Quelles conditions une fonction $f$ doit-elle remplir pour
être une densité de probabilité sur un intervalle $I$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Être positive sur $I$, et l'aire totale sous sa courbe
sur $I$ doit valoir $1$}
        \item[B.] Être croissante et valoir $1$ à droite
        \item[C.] Être comprise entre $0$ et $1$
        \item[D.] Être continue et impaire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Lire une probabilité comme une aire}
    La figure montre la densité de la loi uniforme sur
$[0\,;\,2]$ (hauteur $0{,}5$) ; la zone colorée s'étend de
$0{,}5$ à $1{,}5$. Que vaut
$P(0{,}5 \leq X \leq 1{,}5)$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.6,yscale=2.4]
  \fill[blue!20] (0.5,0) rectangle (1.5,0.5);
  \draw[->] (-0.5,0) -- (2.7,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.12) -- (0,0.85) node[above left] {$y$};
  \draw[thick,blue] (0,0.5) -- (2,0.5);
  \draw[thick,blue] (-0.4,0) -- (0,0);
  \draw[thick,blue] (2,0) -- (2.6,0);
  \draw[dashed,blue] (0,0) -- (0,0.5);
  \draw[dashed,blue] (2,0) -- (2,0.5);
  \node[left,font=\small] at (-0.03,0.5) {$0{,}5$};
  \foreach \x in {0.5,1,1.5,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.02) {$\x$};
  \draw (0.5,0.01) -- (0.5,-0.01);
  \draw (1.5,0.01) -- (1.5,-0.01);
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}5$ : l'aire du rectangle de largeur $1$ et de
hauteur $0{,}5$}
        \item[B.] $1$ : la largeur de la zone
        \item[C.] $0{,}25$
        \item[D.] $0{,}75$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Densité de la loi uniforme}
    Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle
$[2\,;\,7]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(x) = \dfrac{1}{5}$ sur $[2\,;\,7]$, nulle ailleurs}
        \item[B.] $f(x) = \dfrac{1}{7}$ sur $[2\,;\,7]$
        \item[C.] $f(x) = 5$ sur $[2\,;\,7]$
        \item[D.] $f(x) = x - 2$ sur $[2\,;\,7]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Espérance d'une loi uniforme}
    Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente
$X$ d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme
sur $[0\,;\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$ minutes}
        \item[B.] $10$ minutes
        \item[C.] $0$ minute
        \item[D.] $\dfrac{1}{10}$ de minute
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Fonction de répartition}
    Pour une variable à densité $X$, que représente la fonction
de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{L'aire cumulée sous la densité jusqu'à $x$ : une
fonction croissante de $0$ vers $1$}
        \item[B.] La hauteur de la densité en $x$
        \item[C.] La probabilité que $X = x$ exactement
        \item[D.] L'espérance de $X$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} $P(X = a)$ pour une loi à densité}
    Soit $X$ une variable suivant une loi à densité. Que vaut
$P(X = 3)$ (la probabilité d'une valeur exacte) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$ : une aire de largeur nulle}
        \item[B.] $f(3)$, la valeur de la densité
        \item[C.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[D.] Cela dépend de la loi
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} La loi exponentielle}
    Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre
$\lambda > 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$}
        \item[B.] $f(t) = e^{\lambda t}$ pour $t \geq 0$
        \item[C.] $f(t) = \lambda$ pour $t \geq 0$
        \item[D.] $f(t) = e^{-t^2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Espérance d'une loi exponentielle}
    La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}1$ (par millier d'heures). Quelle
est sa durée de vie moyenne ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{\lambda} = 10$ milliers d'heures}
        \item[B.] $0{,}1$ millier d'heures
        \item[C.] $\lambda^2 = 0{,}01$
        \item[D.] Elle est infinie, car $t$ peut être arbitrairement grand
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Absence de mémoire continue}
    La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.
Il fonctionne déjà depuis $5$ ans. Que dire de sa durée de
vie \textbf{restante} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle suit la même loi exponentielle qu'un composant
neuf : le composant ne vieillit pas}
        \item[B.] Elle est plus courte : il a déjà consommé une partie de
sa vie
        \item[C.] Elle est plus longue : il a prouvé sa robustesse
        \item[D.] Elle devient certaine et égale à $\dfrac{1}{\lambda}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} L'espérance comme intégrale}
    Pour une variable $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$,
comment s'exprime l'espérance $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$E(X) = \displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx$}
        \item[B.] $E(X) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$
        \item[C.] $E(X) = f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$
        \item[D.] $E(X) = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Simuler avec la loi uniforme}
    En Python, \texttt{random()} renvoie un réel de loi uniforme sur
$[0\,;\,1[$. Comment simuler une variable uniforme sur
$[3\,;\,8]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{\texttt{3 + 5 * random()}}
        \item[B.] \texttt{random(3, 8)}
        \item[C.] \texttt{3 * random() + 8}
        \item[D.] \texttt{randint(3, 8)}
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Choisir entre uniforme et exponentielle}
    Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi
\textbf{exponentielle} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Le temps d'attente entre deux appels indépendants à un
standard téléphonique}
        \item[B.] La position d'un point choisi au hasard sur un segment
        \item[C.] Le nombre de succès en $20$ tirages avec remise
        \item[D.] Le résultat d'un lancer de dé
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Probabilité uniforme simple}
    $X$ suit la loi uniforme sur $[0\ ;\ 10]$. Que vaut
$P(X \leq 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[D.] $0{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} L'aire totale sous une densité}
    Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de
probabilité ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$ : la certitude entière}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] Cela dépend de la loi
        \item[D.] L'espérance de la variable
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Uniforme sur $[2\ ;\ 8]$}
    $X$ suit la loi uniforme sur $[2\ ;\ 8]$. Que vaut
$P(3 \leq X \leq 5)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$}
        \item[B.] $\dfrac{5}{8}$
        \item[C.] $\dfrac{2}{8}$
        \item[D.] $\dfrac{3}{5}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Fonction de répartition exponentielle}
    $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Que
vaut $P(X \leq t)$ pour $t \geq 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1 - e^{-\lambda t}$}
        \item[B.] $e^{-\lambda t}$
        \item[C.] $\lambda e^{-\lambda t}$
        \item[D.] $\lambda t$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Durée de vie moyenne}
    La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}5$ (par année). Quelle est sa durée
de vie moyenne ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2$ ans : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$}
        \item[B.] $0{,}5$ an
        \item[C.] $\lambda^2 = 0{,}25$ an
        \item[D.] $e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ an
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Probabilité de survie}
    Avec $\lambda = 0{,}5$, quelle est la probabilité que le
composant fonctionne encore après $4$ ans ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P(X > 4) = e^{-2} \approx 0{,}135$}
        \item[B.] $1 - e^{-2} \approx 0{,}865$
        \item[C.] $e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$
        \item[D.] $0$ : c'est le double de la durée moyenne
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
