\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Lois discrètes}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$}
    On lance un dé équilibré à $6$ faces : le résultat $X$ suit
la loi uniforme sur $\{1, \ldots, 6\}$. Que vaut $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3{,}5$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $6$
        \item[D.] $\dfrac{1}{6}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Loi de Bernoulli}
    $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$
($X = 1$ en cas de succès, $0$ sinon). Que valent $E(X)$ et
$V(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}16$}
        \item[B.] $E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 0{,}25$
        \item[C.] $E(X) = 1$ et $V(X) = 0$
        \item[D.] $E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Triangle de Pascal}
    La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1\ ;\,4\ ;\,6\ ;
\,4\ ;\,1$. Que vaut le coefficient binomial
$\dbinom{5}{2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10$, en additionnant $4 + 6$ (relation de Pascal)}
        \item[B.] $24$, en multipliant $4 \times 6$
        \item[C.] $6$
        \item[D.] $5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Identifier une loi binomiale}
    On tire $10$ fois \textbf{avec remise} une boule dans une urne
contenant $30\ \%$ de boules rouges, et on compte le nombre
$X$ de rouges. Quelle est la loi de $X$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$}
        \item[B.] La loi uniforme sur $\{0, \ldots, 10\}$
        \item[C.] La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$
        \item[D.] La loi géométrique de paramètre $0{,}3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Une probabilité binomiale}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ (quatre lancers d'une
pièce équilibrée). Que vaut $P(X = 2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^4 = \dfrac{6}{16} = 0{,}375$}
        \item[B.] $0{,}5$
        \item[C.] $0{,}25$
        \item[D.] $\dfrac{1}{16}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Espérance et écart-type d'une binomiale}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}25)$. Que valent
$E(X)$ et $\sigma(X)$ (admis au programme) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$E(X) = 25$ et $\sigma(X) = \sqrt{18{,}75} \approx
4{,}33$}
        \item[B.] $E(X) = 25$ et $\sigma(X) = 18{,}75$
        \item[C.] $E(X) = 50$ et $\sigma(X) = 5$
        \item[D.] $E(X) = 0{,}25$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} La loi géométrique}
    On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ jusqu'au
premier succès ; $X$ est le rang de ce premier succès. Que
vaut $P(X = k)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(1 - p)^{k-1}\,p$}
        \item[B.] $p^k$
        \item[C.] $\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
        \item[D.] $\dfrac{1}{k}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Espérance d'un temps d'attente}
    On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$. Combien de
lancers faut-il \textbf{en moyenne} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$ lancers, car $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{1/6}$}
        \item[B.] $3{,}5$ lancers
        \item[C.] $1$ lancer
        \item[D.] $36$ lancers
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Absence de mémoire}
    On a déjà lancé le dé $10$ fois sans obtenir de $6$. Quelle
est la probabilité d'obtenir enfin un $6$ au prochain
lancer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{6}$, comme à chaque lancer : le dé n'a pas de
mémoire}
        \item[B.] Plus de $\dfrac{1}{6}$ : le $6$ « doit » sortir
        \item[C.] Moins de $\dfrac{1}{6}$ : ce dé semble défavorable
        \item[D.] $\dfrac{10}{6}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Calcul explicite d'une probabilité géométrique}
    $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}5$
(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut
$P(X = 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}5^2 \times 0{,}5 = 0{,}125$}
        \item[B.] $0{,}5$
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[D.] $0{,}375$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Intervalle et calculatrice}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}5)$ (une pièce testée
sur $50$ lancers). La calculatrice donne
$P(18 \leq X \leq 32) \approx 0{,}967$. Comment interpréter
ce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Si la pièce est équilibrée, le nombre de piles tombe
dans $[18\,;\,32]$ dans environ $97\ \%$ des cas ; un
résultat hors de cet intervalle rend le modèle suspect}
        \item[B.] La pièce est équilibrée avec probabilité $0{,}967$
        \item[C.] Il sortira exactement entre $18$ et $32$ piles, garanti
        \item[D.] Ce calcul ne sert à rien sans la liste des lancers
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Choisir la bonne loi}
    Trois variables : $A$ = numéro obtenu en tirant une carte
parmi $10$ numérotées de $1$ à $10$ ; $B$ = nombre de
clients qui achètent parmi $20$ visiteurs indépendants
(chacun achète avec probabilité $0{,}1$) ; $C$ = rang du
premier appel décroché par un standard qui décroche avec
probabilité $0{,}6$ à chaque appel. Quelles lois ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$A$ : uniforme sur $\{1, \ldots, 10\}$ ; $B$ :
binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1)$ ; $C$ :
géométrique de paramètre $0{,}6$}
        \item[B.] $A$ : binomiale ; $B$ : géométrique ; $C$ : uniforme
        \item[C.] Les trois suivent des lois binomiales
        \item[D.] $A$ : uniforme ; $B$ : géométrique ; $C$ : binomiale
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Aucun succès sur $n$ essais}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Que vaut $P(X = 0)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}7^4 \approx 0{,}24$}
        \item[B.] $0{,}3^4$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $1 - 0{,}3 = 0{,}7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Espérance de la loi uniforme}
    $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (un dé
équilibré). Que vaut $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3{,}5$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $\dfrac{1}{6}$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Au moins un succès}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Comment calculer $P(X \geq 1)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7^4 \approx 0{,}76$}
        \item[B.] $P(X = 1) = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3$
        \item[C.] $4 \times 0{,}3 = 1{,}2$
        \item[D.] $0{,}3^4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Attendre plus de $n$ essais}
    $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (rang du
premier succès). Que vaut $P(X > n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(1 - p)^n$ : les $n$ premiers essais sont tous des
échecs}
        \item[B.] $p^n$
        \item[C.] $1 - p^n$
        \item[D.] $n(1 - p)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Temps d'attente moyen}
    Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$. En
moyenne, combien de tirs faut-il pour obtenir le premier
succès ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$ tirs : $E(X) = \dfrac{1}{p}$}
        \item[B.] $0{,}2$ tir
        \item[C.] $2$ tirs
        \item[D.] Impossible à prévoir : l'attente est aléatoire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Binomiale ou géométrique ?}
    Expérience A : « je lance $10$ fléchettes et je compte les
réussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes
jusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».
Quelles lois ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{A : binomiale (nombre d'essais fixé) ; B : géométrique
(rang du premier succès)}
        \item[B.] A : géométrique ; B : binomiale
        \item[C.] Les deux sont binomiales
        \item[D.] Les deux sont géométriques
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
