\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Primitives et équations différentielles}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Vérifier une solution}
    La fonction $f(x) = 5\,e^{2x}$ est-elle solution de
l'équation différentielle $y' = 2y$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $f'(x) = 10\,e^{2x} = 2 \times 5\,e^{2x} =
2\,f(x)$}
        \item[B.] Non, car $f(0) = 5 \neq 2$
        \item[C.] Non, car il y a un $5$ en facteur
        \item[D.] On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Primitive et équation $y' = f$}
    Chercher une primitive de $f$ revient à résoudre quelle
équation différentielle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y' = f$}
        \item[B.] $y' = y$
        \item[C.] $y = f'$
        \item[D.] $y' = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} L'ensemble des primitives}
    $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur
$\mathbb{R}$. Quelles sont \textbf{toutes} les primitives de $f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les fonctions $x \mapsto x^2 + C$, $C$ constante réelle}
        \item[B.] La seule fonction $x \mapsto x^2$
        \item[C.] Les fonctions $x \mapsto Cx^2$
        \item[D.] Les fonctions $x \mapsto x^2 + Cx$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Reconnaître la forme $2u'u$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = 2 \times 3 \times
(3x + 1)$, c'est-à-dire $f = 2u'u$ avec $u(x) = 3x + 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = (3x + 1)^2$}
        \item[B.] $F(x) = (3x + 1)^3$
        \item[C.] $F(x) = 6x^2 + 2x$? Développons : $f(x) = 18x + 6$, de
primitive $9x^2 + 6x$
        \item[D.] $F(x) = 2(3x + 1)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Reconnaître la forme $u'e^u$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = e^{x^2}$}
        \item[B.] $F(x) = x^2\,e^{x^2}$
        \item[C.] $F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2x}$
        \item[D.] $F(x) = 2\,e^{x^2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Reconnaître la forme $\dfrac{u'}{u}$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \ln(x^2 + 1)$}
        \item[B.] $F(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$
        \item[C.] $F(x) = 2x\,\ln(x^2 + 1)$
        \item[D.] $F(x) = \ln(2x)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Résoudre $y' = ay$}
    Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = -0{,}5\,y$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les fonctions $y = C\,e^{-0{,}5x}$, $C$ réel}
        \item[B.] Les fonctions $y = C\,e^{0{,}5x}$
        \item[C.] La seule fonction $y = e^{-0{,}5x}$
        \item[D.] Les fonctions $y = -0{,}5x + C$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Résoudre $y' = ay + b$}
    Quelles sont les solutions de l'équation $y' = -2y + 8$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = C\,e^{-2x} + 4$}
        \item[B.] $y = C\,e^{-2x} + 8$
        \item[C.] $y = C\,e^{2x} + 4$
        \item[D.] $y = -2x + 8$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Condition initiale}
    Parmi les solutions $y = C\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,
laquelle vérifie $y(0) = 10$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = 6\,e^{-2x} + 4$}
        \item[B.] $y = 10\,e^{-2x} + 4$
        \item[C.] $y = 10\,e^{-2x}$
        \item[D.] $y = 6\,e^{-2x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Interpréter la solution constante}
    Dans un modèle de refroidissement $T' = -0{,}1\,(T - 20)$
(température $T$ en degrés, temps en minutes), que
représente la constante $20$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La température ambiante, état d'équilibre vers lequel
$T$ tend}
        \item[B.] La température initiale de l'objet
        \item[C.] La vitesse de refroidissement
        \item[D.] Une constante d'intégration
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Primitive vérifiant une condition}
    Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant
$F(1) = 5$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = x^3 + 4$}
        \item[B.] $F(x) = x^3 + 5$
        \item[C.] $F(x) = x^3$
        \item[D.] $F(x) = 5x^3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Choisir la bonne équation différentielle}
    Une population croît à une vitesse \textbf{proportionnelle à son
effectif} $y(t)$, avec un taux de $4\ \%$ par unité de
temps. Quelle équation différentielle modélise cette
situation ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y' = 0{,}04\,y$}
        \item[B.] $y' = 0{,}04$
        \item[C.] $y = 0{,}04\,t$
        \item[D.] $y' = y + 0{,}04$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Primitive de $x^2$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = x^2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$}
        \item[B.] $F(x) = 2x$
        \item[C.] $F(x) = x^3$
        \item[D.] $F(x) = \dfrac{x^2}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Primitive de $\dfrac{1}{x}$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \ln x$}
        \item[B.] $F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
        \item[C.] $F(x) = \dfrac{x^0}{0}$
        \item[D.] $F(x) = e^x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Primitive de $e^{2x}$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}$}
        \item[B.] $F(x) = 2e^{2x}$
        \item[C.] $F(x) = e^{2x}$
        \item[D.] $F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Les solutions de $y' = 3y$}
    Quelles sont toutes les solutions de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y(x) = C\,e^{3x}$, pour une constante $C$ quelconque}
        \item[B.] $y(x) = e^{3x}$ uniquement
        \item[C.] $y(x) = 3x + C$
        \item[D.] $y(x) = C\,e^{x} + 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Résoudre avec condition initiale}
    Quelle est la solution de $y' = -0{,}5\,y + 10$ vérifiant
$y(0) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)$}
        \item[B.] $y(t) = 20\,e^{-0{,}5t}$
        \item[C.] $y(t) = 10\,t$
        \item[D.] $y(t) = -20\,e^{-0{,}5t}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Long terme des solutions}
    Pour l'équation $y' = -0{,}5\,y + 10$, que deviennent
toutes les solutions quand $t \to +\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elles convergent toutes vers l'équilibre $20$, quel que
soit leur point de départ}
        \item[B.] Elles divergent vers $+\infty$
        \item[C.] Elles tendent vers $0$
        \item[D.] Cela dépend du point de départ
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
