\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Statistique à deux variables quantitatives}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Point moyen d'un nuage}
    Un nuage a pour points $(0\,;\,3)$, $(2\,;\,5)$,
$(4\,;\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen
$G$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$G(2\,;\,6)$}
        \item[B.] $G(6\,;\,18)$
        \item[C.] $G(2\,;\,5)$
        \item[D.] $G(4\,;\,10)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Le sens des « moindres carrés »}
    Que minimise la droite de régression des moindres carrés
parmi toutes les droites du plan ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La somme des carrés des écarts \textbf{verticaux} entre les
points du nuage et la droite}
        \item[B.] Le nombre de points situés au-dessus de la droite
        \item[C.] La longueur de la droite
        \item[D.] La distance entre le premier et le dernier point
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Utiliser une droite de régression}
    La calculatrice fournit la droite de régression
$y = 2{,}4x + 10$ pour un nuage (valeurs de $x$ observées
entre $0$ et $20$). Quelle estimation de $y$ pour
$x = 15$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$46$}
        \item[B.] $36$
        \item[C.] $25$
        \item[D.] Aucune estimation possible pour une valeur non observée
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Lire un coefficient de corrélation}
    Pour un nuage de points, la calculatrice affiche un
coefficient de corrélation $r = -0{,}98$. Comment
l'interpréter ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un lien affine très fort et \textbf{décroissant} : le nuage
est presque aligné sur une droite qui descend}
        \item[B.] Une erreur de calcul : un coefficient est toujours
positif
        \item[C.] Un lien très faible, car $r$ est négatif
        \item[D.] $98\ \%$ des points sont sous la droite
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Quand l'ajustement affine est-il pertinent ?}
    Deux études donnent $r_1 = 0{,}99$ et $r_2 = 0{,}30$. Que
peut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement
affine ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Très pertinent pour la première, douteux pour la
seconde}
        \item[B.] Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs
        \item[C.] Aucun des deux : seul $r = 1$ exactement autorise
l'ajustement
        \item[D.] Le second est meilleur, car plus proche de $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Se ramener à l'affine par changement de variable}
    Un nuage $(x_i\,;\,y_i)$ suit une tendance exponentielle
$y = k\,a^x$. Quel changement de variable ramène à un
ajustement \textbf{affine} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Poser $z = \ln y$ : alors $z = \ln k + x\ln a$, affine
en $x$}
        \item[B.] Poser $z = y^2$
        \item[C.] Poser $z = \dfrac{1}{y}$
        \item[D.] Aucun : un nuage courbé ne s'ajuste jamais
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Les limites de l'extrapolation}
    Une droite de régression ajuste très bien ($r = 0{,}99$) la
température moyenne d'un lieu selon l'année, observée de
$2000$ à $2020$. Peut-on l'utiliser pour prédire la
température en $2100$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Avec de grandes réserves : c'est une extrapolation très
loin des données, la tendance peut changer}
        \item[B.] Oui, sans réserve : $r = 0{,}99$ garantit la prédiction
        \item[C.] Non : une droite de régression ne sert jamais à prédire
        \item[D.] Oui, si on utilise plus de décimales
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} La droite passe par le point moyen}
    Un nuage a pour point moyen $G(4\,;\,11)$ et la droite des
moindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de
cette droite ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = 2x + 3$}
        \item[B.] $y = 2x + 11$
        \item[C.] $y = 2x - 3$
        \item[D.] On ne peut pas conclure sans tous les points
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Corrélation n'est pas causalité}
    Sur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre
de cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés
($r = 0{,}9$). Peut-on conclure que les médecins provoquent
la maladie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : la taille de la population des communes explique
vraisemblablement les deux variables}
        \item[B.] Oui : $r = 0{,}9$ est une preuve causale forte
        \item[C.] Oui, si la droite de régression est croissante
        \item[D.] Non : les corrélations n'ont jamais aucun sens
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Bien lire un résidu}
    Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne
$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut l'écart (résidu) entre la
valeur observée et la valeur prédite ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$25 - 22 = 3$ : le point est au-dessus de la droite}
        \item[B.] $0$ : la droite passe par tous les points
        \item[C.] $25 - 5 = 20$
        \item[D.] $-3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Obtenir la régression en pratique}
    Comment obtient-on en pratique la droite de régression d'une
série de données (au programme) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Par la calculatrice, un tableur ou Python, qui renvoient
pente et ordonnée à l'origine}
        \item[B.] En reliant le premier et le dernier point du nuage
        \item[C.] En traçant à main levée, seule méthode admise
        \item[D.] Il faut connaître par cœur les formules de $a$ et $b$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} La démarche complète d'un ajustement}
    Quel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série
de données à deux variables ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Représenter le nuage, choisir la forme du modèle
(affine ou à linéariser), calculer l'ajustement et $r$,
puis interpréter et prédire avec prudence}
        \item[B.] Calculer $r$ d'abord, et ne tracer le nuage que si $r$
est faible
        \item[C.] Prédire d'abord, ajuster ensuite
        \item[D.] Supprimer les points gênants, puis ajuster
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Un coefficient de $-0{,}95$}
    Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient
de corrélation $r = -0{,}95$. Comment l'interpréter ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude
monte, la température descend}
        \item[B.] Lien très faible, car le coefficient est négatif
        \item[C.] Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être
négatif
        \item[D.] L'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Un coefficient proche de $0$}
    Un nuage de points donne $r = 0{,}05$. Que peut-on en
conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Pas de lien \textbf{linéaire} entre les variables (mais un
lien courbe reste possible)}
        \item[B.] Aucun lien d'aucune sorte entre les variables
        \item[C.] Un lien faible mais croissant
        \item[D.] Les données sont fausses
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Prévoir avec la droite de régression}
    La droite de régression vaut $y = 2x + 1$. Quelle valeur le
modèle prévoit-il pour $x = 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = 15$}
        \item[B.] $y = 9$
        \item[C.] $y = 14$
        \item[D.] Impossible : il faut la valeur observée en $x = 7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Le signe de $r$ et la pente}
    Quel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de
corrélation $r$ et la droite de régression ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$r$ et la pente de la droite ont toujours le même signe}
        \item[B.] Ils sont toujours de signes opposés
        \item[C.] Aucun lien : $r$ et la droite sont indépendants
        \item[D.] $r$ est le carré de la pente
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Calculer un résidu}
    Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, mais on
observe $y = 14$. Que vaut le résidu (observé moins prédit),
et que signifie son signe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-1$ : le point observé est \textbf{en dessous} de la droite}
        \item[B.] $+1$ : le point est au-dessus
        \item[C.] $29$ : la somme des deux valeurs
        \item[D.] $0$ : le modèle est bon donc l'écart est nul
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Quand $|r| = 1$}
    Que signifie un coefficient de corrélation égal à $-1$
exactement ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite
décroissante}
        \item[B.] Les variables n'ont aucun lien
        \item[C.] Il y a forcément une erreur : $r$ ne peut pas atteindre
$-1$
        \item[D.] La moitié des points est au-dessus de la droite
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
