\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Suites numériques, modèles discrets}
\subtitle{QCM}
\author{Maths complémentaires}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1}
    Que vaut la limite de $0{,}7^n$ quand $n$ tend vers
$+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $0{,}7$
        \item[D.] $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Limite d'une somme géométrique}
    Pour $0 < q < 1$, que vaut la limite de la somme
$1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{1 - q}$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $\dfrac{1}{q - 1}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Suite constante solution}
    Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$.
Quelle suite \textbf{constante} vérifie cette relation ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La suite constante égale à $20$}
        \item[B.] La suite constante égale à $4$
        \item[C.] La suite constante égale à $5$
        \item[D.] Aucune suite constante ne convient
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Exploiter la suite constante}
    Toujours avec $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$ (point d'équilibre
$20$) et $u_0 = 30$. Que vaut la limite de $(u_n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$20$ : l'écart au point d'équilibre est multiplié par
$0{,}8$ à chaque rang et fond vers $0$}
        \item[B.] $30$ : la suite reste à sa valeur initiale
        \item[C.] $+\infty$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Théorème des gendarmes}
    Une suite vérifie, pour tout $n \geq 1$,
$3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}$.
Que peut-on conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(u_n)$ converge vers $3$}
        \item[B.] $(u_n)$ est constante égale à $3$
        \item[C.] On ne peut rien dire sans connaître $u_n$ explicitement
        \item[D.] $(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{n}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Modéliser un compte avec versements}
    Un compte rapporte $2\ \%$ par an et reçoit un versement de
$100$ euros chaque fin d'année. Notant $u_n$ le solde après
$n$ années, quelle récurrence modélise la situation ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100$}
        \item[B.] $u_{n+1} = u_n + 102$
        \item[C.] $u_{n+1} = 1{,}02\,(u_n + 100)$? Non : les intérêts de
l'année ne portent pas sur le versement de fin d'année
        \item[D.] $u_{n+1} = 0{,}02\,u_n + 100$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Opérations sur les limites}
    Soient $u_n \to 5$ et $v_n \to 0{,}5$. Que vaut la limite de
$\dfrac{u_n}{v_n}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10$}
        \item[B.] $2{,}5$
        \item[C.] $5{,}5$
        \item[D.] On ne peut pas conclure
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Dérouler une récurrence}
    Soit $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut
$u_2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10$}
        \item[B.] $8$
        \item[C.] $7$
        \item[D.] $16$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Problème de seuil}
    La valeur d'un équipement est divisée par $2$ chaque année :
$u_n = 1000 \times 0{,}5^n$ (en euros). À partir de quel rang
$n$ la valeur passe-t-elle sous $10$ euros ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$n = 7$}
        \item[B.] $n = 100$
        \item[C.] $n = 6$
        \item[D.] $n = 10$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Représentation en toile d'araignée}
    Pour représenter graphiquement une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
et conjecturer son comportement, on trace la courbe de $f$
et une autre droite. Laquelle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La droite d'équation $y = x$}
        \item[B.] L'axe des abscisses
        \item[C.] La droite $y = f(0)$
        \item[D.] La tangente à la courbe en $u_0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Décroissance radioactive discrète}
    Chaque année, $3\ \%$ des noyaux d'un échantillon se
désintègrent. Avec $N_0$ noyaux au départ, quel modèle
discret décrit $N_n$ (nombre de noyaux après $n$ années) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$N_n = N_0 \times 0{,}97^n$ : suite géométrique de raison
$0{,}97$}
        \item[B.] $N_n = N_0 - 0{,}03\,n$
        \item[C.] $N_n = N_0 \times 0{,}03^n$
        \item[D.] $N_n = N_0 \times 1{,}03^n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Comportement selon la raison}
    Trois suites géométriques ont pour raisons respectives
$0{,}9$ ; $1$ ; $1{,}1$ (premiers termes strictement
positifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Vers $0$ pour $0{,}9$ ; constante pour $1$ ; vers
$+\infty$ pour $1{,}1$}
        \item[B.] Les trois convergent, plus ou moins vite
        \item[C.] Les trois tendent vers leur raison
        \item[D.] Impossible à dire sans les premiers termes
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Limite d'une suite arithmétique}
    Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison
$r = 3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$ : chaque pas ajoute $3$, sans plafond}
        \item[B.] $3$ : la raison
        \item[C.] $u_0$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Somme des puissances de $q$}
    Pour $q \neq 1$, que vaut la somme $1 + q + q^2 + \dots +
q^n$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$}
        \item[B.] $\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$
        \item[C.] $\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}$
        \item[D.] $(n + 1)\,q$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Point d'équilibre d'un modèle mixte}
    Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$. Quelle est la
valeur d'équilibre (suite constante solution) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$250$, solution de $\ell = 0{,}8\,\ell + 50$}
        \item[B.] $50$
        \item[C.] $62{,}5$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Limite d'une forme explicite}
    Que vaut $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 - 3 \times
0{,}7^n\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] $2$
        \item[C.] $+\infty$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$}
    Pour $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$ (équilibre $250$), on pose
$v_n = u_n - 250$. Que devient la suite $(v_n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Géométrique de raison $0{,}8$ : $v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$}
        \item[B.] Arithmétique de raison $50$
        \item[C.] Constante égale à $250$
        \item[D.] De même nature que $(u_n)$ : rien ne change
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Interpréter la convergence}
    Une population de poissons suit $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$
(en centaines, $50$ = alevins introduits chaque année).
Comment interpréter la convergence vers $250$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La population se stabilise vers $25\,000$ poissons :
pertes et repeuplement finissent par s'équilibrer}
        \item[B.] La population disparaît à terme
        \item[C.] La population explose : on ajoute des poissons chaque
année
        \item[D.] La population oscille sans se stabiliser
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
