\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers}
\subtitle{QCM}
\author{Maths expertes}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Divisibilité dans $\mathbb{Z}$}
    Que signifie « $a$ divise $b$ » (noté $a \mid b$) pour deux
entiers relatifs ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Il existe un entier $k$ tel que $b = ka$}
        \item[B.] $\dfrac{a}{b}$ est un entier
        \item[C.] $a < b$
        \item[D.] $a$ et $b$ ont le même signe
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Division euclidienne d'un négatif}
    Quelle est la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-17 = 5 \times (-4) + 3$, quotient $-4$ et reste $3$}
        \item[B.] $-17 = 5 \times (-3) - 2$, quotient $-3$ et reste $-2$
        \item[C.] $-17 = 5 \times (-3) + 2$, quotient $-3$ et reste $2$
        \item[D.] Impossible : la division euclidienne exige des entiers
positifs
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Définition d'une congruence}
    Que signifie $a \equiv b \pmod n$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$n$ divise $a - b$}
        \item[B.] $a = b$
        \item[C.] $a$ divise $b$
        \item[D.] $a$ et $b$ sont premiers avec $n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Compatibilité avec les opérations}
    Sachant $10 \equiv 1 \pmod 9$, que vaut $10^{2026}
\pmod 9$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10^{2026} \equiv 1 \pmod 9$}
        \item[B.] $10^{2026} \equiv 2026 \pmod 9$
        \item[C.] $10^{2026} \equiv 0 \pmod 9$
        \item[D.] Impossible sans calculer $10^{2026}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Algorithme d'Euclide}
    On calcule $\text{PGCD}(252\ ;\ 105)$ par l'algorithme
d'Euclide : $252 = 105 \times 2 + 42$, puis $105 = 42 \times
2 + 21$, puis $42 = 21 \times 2 + 0$. Quel est le PGCD ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$21$ : le dernier reste non nul}
        \item[B.] $42$ : le premier reste
        \item[C.] $0$ : le dernier reste
        \item[D.] $2$ : le quotient répété
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Théorème de Bézout}
    Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers $a$ et $b$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il
existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$}
        \item[B.] Pour tous entiers $a$ et $b$, il existe $u$ et $v$ tels
que $au + bv = 1$
        \item[C.] Si $a \mid bc$ et $a$ premier avec $b$, alors $a \mid c$
        \item[D.] Tout entier $\geq 2$ se décompose en produit de facteurs
premiers
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Théorème de Gauss}
    On sait que $7 \mid 3n$ pour un entier $n$. Que peut-on
conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$7 \mid n$, car $7$ est premier avec $3$}
        \item[B.] $7 \mid 3$
        \item[C.] $n = 7$
        \item[D.] Rien : il faudrait connaître $n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Équation diophantienne}
    L'équation $3x + 5y = 1$ admet la solution particulière
$(x_0\ ;\ y_0) = (2\ ;\ -1)$. Quelles sont toutes les
solutions entières ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 2 + 5k$, $y = -1 - 3k$, pour $k \in \mathbb{Z}$}
        \item[B.] $(2\ ;\ -1)$ est la seule solution
        \item[C.] $x = 2 + 3k$, $y = -1 - 5k$, pour $k \in \mathbb{Z}$
        \item[D.] Aucune : $3$ et $5$ ne divisent pas $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} L'ensemble des nombres premiers}
    Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Il est infini (démonstration d'Euclide)}
        \item[B.] Il est fini : le plus grand premier est connu
        \item[C.] Tous les nombres premiers sont impairs
        \item[D.] Un produit de deux premiers est premier
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Décomposition en facteurs premiers}
    Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$}
        \item[B.] $360 = 2^2 \times 3^2 \times 10$
        \item[C.] $360 = 2^3 \times 45$
        \item[D.] $360 = 6 \times 60$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Petit théorème de Fermat}
    $p = 7$ est premier et $a = 3$ n'est pas divisible par $7$.
Que donne le petit théorème de Fermat ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3^6 \equiv 1 \pmod 7$}
        \item[B.] $3^7 \equiv 1 \pmod 7$
        \item[C.] $3^6 \equiv 0 \pmod 7$
        \item[D.] $6^3 \equiv 1 \pmod 7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Inverse modulo $n$}
    Quel est l'inverse de $3$ modulo $7$, c'est-à-dire l'entier
$x \in \{1, \dots, 6\}$ tel que $3x \equiv 1 \pmod 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 5$}
        \item[B.] $x = 4$
        \item[C.] $x = \dfrac{1}{3}$
        \item[D.] Il n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Divisibilité par $3$}
    Le nombre $741$ est-il divisible par $3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui : la somme de ses chiffres, $7 + 4 + 1 = 12$, est
divisible par $3$}
        \item[B.] Non : il est impair
        \item[C.] Non : il ne se termine pas par $3$, $6$ ou $9$
        \item[D.] Impossible à savoir sans poser la division
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Division euclidienne de $47$ par $6$}
    Quels sont le quotient et le reste de la division
euclidienne de $47$ par $6$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$47 = 6 \times 7 + 5$ : quotient $7$, reste $5$}
        \item[B.] Quotient $8$, reste $-1$
        \item[C.] Quotient $7$, reste $6$
        \item[D.] Quotient $5$, reste $7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Deux entiers consécutifs}
    Que peut-on dire de $n$ et $n + 1$ pour tout entier $n$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Ils sont toujours premiers entre eux}
        \item[B.] Ils ont toujours un facteur commun
        \item[C.] L'un des deux est toujours premier
        \item[D.] Leur PGCD est $n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Dernier chiffre et modulo $10$}
    Quel est le dernier chiffre de $7^4$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$ : car $7^2 = 49 \equiv 9$, puis $7^4 \equiv 9^2 =
81 \equiv 1 \pmod{10}$}
        \item[B.] $9$
        \item[C.] $7$
        \item[D.] $4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Compter les diviseurs}
    Sachant $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$, combien $360$
a-t-il de diviseurs positifs ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$}
        \item[B.] $3 \times 2 \times 1 = 6$
        \item[C.] $3 + 2 + 1 = 6$
        \item[D.] $360 \div 2 = 180$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Rendre une fraction irréductible}
    Sachant $\text{PGCD}(252\ ;\ 105) = 21$, quelle est la
forme irréductible de $\dfrac{252}{105}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{12}{5}$}
        \item[B.] $\dfrac{84}{35}$
        \item[C.] $\dfrac{5}{12}$
        \item[D.] $\dfrac{21}{5}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Tester la primalité de $97$}
    Pour vérifier que $97$ est premier, quels diviseurs
suffit-il de tester ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les premiers $2, 3, 5, 7$ : tous ceux qui ne dépassent
pas $\sqrt{97} \approx 9{,}8$}
        \item[B.] Tous les entiers de $2$ à $96$
        \item[C.] Seulement $2$ et $3$
        \item[D.] Les nombres pairs uniquement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Le calendrier modulo $7$}
    Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans $100$ jours ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Mercredi : $100 \equiv 2 \pmod 7$, donc deux jours après
lundi}
        \item[B.] Lundi : $100$ est un compte rond
        \item[C.] Vendredi
        \item[D.] Impossible sans calendrier
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Calculer $2^{100} \pmod 7$}
    Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2$ : car $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ et $100 = 3 \times
33 + 1$}
        \item[B.] $0$ : une puissance aussi grande est divisible par tout
        \item[C.] $4$
        \item[D.] $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Résoudre $5x \equiv 3 \pmod 7$}
    Quelles sont les solutions de la congruence $5x \equiv 3
\pmod 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \equiv 2 \pmod 7$ : on multiplie par $3$, inverse de
$5$ modulo $7$}
        \item[B.] $x = \dfrac{3}{5}$
        \item[C.] Aucune solution : $5$ ne divise pas $3$
        \item[D.] $x \equiv 3 \pmod 7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} $n^2$ pair implique $n$ pair}
    Comment démontrer proprement : « si $n^2$ est pair, alors
$n$ est pair » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Par contraposée : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ donne
$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, impair}
        \item[B.] En vérifiant pour $n = 2, 4, 6$
        \item[C.] C'est faux : $n^2$ pair n'impose rien à $n$
        \item[D.] En divisant $n^2$ par $n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Pourquoi Euclide fonctionne}
    L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ où $r$ est le
reste de $a$ par $b$. Pourquoi est-elle vraie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Parce que $a = bq + r$ : les diviseurs communs de
$(a\ ;\ b)$ et de $(b\ ;\ r)$ sont exactement les mêmes}
        \item[B.] Parce que $r$ est toujours plus petit que $b$
        \item[C.] Parce que le PGCD est toujours le dernier reste
        \item[D.] C'est une convention posée sans démonstration
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
