\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle}
\subtitle{QCM}
\author{Maths expertes}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Affixe d'un point}
    Dans le plan complexe, quel point est l'image du nombre
$z = -2 + 3i$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3)$}
        \item[B.] Le point de coordonnées $(3\ ;\ -2)$
        \item[C.] Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3i)$
        \item[D.] Le point de coordonnées $(2\ ;\ 3)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Calcul d'un module}
    Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$|z| = 5$}
        \item[B.] $|z| = -1$
        \item[C.] $|z| = 25$
        \item[D.] $|z| = 7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} La relation $|z|^2 = z\bar{z}$}
    Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre
complexe $z$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$|z|^2 = z\,\bar{z}$}
        \item[B.] $|z| = z\,\bar{z}$
        \item[C.] $|z|^2 = z^2$
        \item[D.] $|z|^2 = z + \bar{z}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Module d'un produit}
    Soient $z$ et $z'$ deux complexes avec $|z| = 2$ et
$|z'| = 3$. Que vaut $|z\,z'|$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$}
        \item[B.] $5$
        \item[C.] Impossible à déterminer sans connaître $z$ et $z'$
        \item[D.] $36$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} L'ensemble $\mathbb{U}$}
    $\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de
module $1$. Pourquoi dit-on que $\mathbb{U}$ est stable par
produit ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Si $|z| = |z'| = 1$, alors $|z\,z'| = 1 \times 1 = 1$ :
le produit reste dans $\mathbb{U}$}
        \item[B.] Parce que la somme de deux éléments de $\mathbb{U}$
reste dans $\mathbb{U}$
        \item[C.] Parce que $\mathbb{U}$ contient tous les nombres réels
        \item[D.] Parce que tout produit de complexes est de module $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Argument d'un nombre complexe}
    Le point $M$ ci-contre a pour affixe $z = 1 + i$. Que valent
$|z|$ et un argument de $z$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.6]
  \draw[->] (-0.6,0) -- (2,0) node[below] {$\mathrm{Re}$};
  \draw[->] (0,-0.6) -- (0,2) node[left] {$\mathrm{Im}$};
  \draw[dashed] (1,0) -- (1,1);
  \draw[dashed] (0,1) -- (1,1);
  \draw[->, thick] (0,0) -- (1,1);
  \fill (1,1) circle (1.2pt) node[above right] {$M$};
  \draw (0.45,0) arc (0:45:0.45);
  \node[font=\small] at (0.72,0.26) {$\frac{\pi}{4}$};
  \node[below,font=\small] at (1,0) {$1$};
  \node[left,font=\small] at (0,1) {$1$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$}
        \item[B.] $|z| = 2$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$
        \item[C.] $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$
        \item[D.] $|z| = 1$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Forme trigonométrique}
    Quelle est la forme algébrique du nombre
$z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = 1 + i\sqrt{3}$}
        \item[B.] $z = \sqrt{3} + i$
        \item[C.] $z = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
        \item[D.] $z = 2 + i\dfrac{2\pi}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Forme exponentielle}
    Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$}
        \item[B.] $z = e^{i\pi/4}$
        \item[C.] $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/2}$
        \item[D.] $z = 2\,e^{i\pi/4}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Produit sous forme exponentielle}
    Que vaut le produit $3e^{i\pi/6} \times 2e^{i\pi/3}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6\,e^{i\pi/2} = 6i$}
        \item[B.] $6\,e^{i\pi^2/18}$
        \item[C.] $5\,e^{i\pi/2}$
        \item[D.] $6\,e^{i\pi/6 \times i\pi/3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Formules d'Euler}
    Quelle est l'expression de $\cos\theta$ donnée par les
formules d'Euler ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$}
        \item[B.] $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$
        \item[C.] $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$
        \item[D.] $\cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Formule de Moivre}
    Que dit la formule de Moivre ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
i\sin(n\theta)$}
        \item[B.] $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(\theta^n) +
i\sin(\theta^n)$
        \item[C.] $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = n\cos\theta +
in\sin\theta$
        \item[D.] $\cos(n\theta) = n\cos\theta$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Puissance par la forme exponentielle}
    En écrivant $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, que vaut
$(1 + i)^8$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$16$}
        \item[B.] $-16$
        \item[C.] $16\,i$
        \item[D.] $8\sqrt{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} La valeur $e^{i\pi}$}
    Que vaut $e^{i\pi}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-1$}
        \item[B.] $1$
        \item[C.] $i$
        \item[D.] $e^{\pi} \approx 23$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Module d'un quotient}
    Avec $|z| = 6$ et $|z'| = 2$, que vaut
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $4$
        \item[C.] $12$
        \item[D.] Impossible sans connaître les arguments
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Argument d'un réel négatif}
    Quel est un argument de $z = -5$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\pi$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $-5$
        \item[D.] Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Module et argument du conjugué}
    Comment module et argument de $\bar{z}$ se comparent-ils à
ceux de $z$ (non nul) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$|\bar{z}| = |z|$ et $\arg\bar{z} = -\arg z$}
        \item[B.] $|\bar{z}| = -|z|$
        \item[C.] Module et argument sont tous deux conservés
        \item[D.] $\arg\bar{z} = \pi - \arg z$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Distance entre deux points par les affixes}
    $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 +
6i$. Que vaut la distance $AB$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| = 5$}
        \item[B.] $AB = |z_B| - |z_A|$
        \item[C.] $AB = z_B - z_A = 3 + 4i$
        \item[D.] $AB = |z_A + z_B|$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Forme exponentielle de $-1 + i$}
    Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = \sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}$}
        \item[B.] $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$
        \item[C.] $z = 2\,e^{3i\pi/4}$
        \item[D.] $z = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
