\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Équations polynomiales et racines de l'unité}
\subtitle{QCM}
\author{Maths expertes}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Second degré à discriminant négatif}
    Quelles sont les solutions complexes de l'équation
$z^2 + 4 = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = 2i$ et $z = -2i$}
        \item[B.] $z = 2$ et $z = -2$
        \item[C.] Aucune : l'équation n'a pas de solution
        \item[D.] $z = 2i$ seulement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Résolution complète}
    Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$}
        \item[B.] $z = 1 + 4i$ et $z = 1 - 4i$
        \item[C.] $z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$
        \item[D.] Pas de solution car $\Delta = -16 < 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Somme et produit des racines}
    Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines
de $z^2 - 6z + 13 = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Somme $= 6$, produit $= 13$}
        \item[B.] Somme $= -6$, produit $= 13$
        \item[C.] Somme $= 6$, produit $= -13$
        \item[D.] Impossible sans calculer les racines
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Factoriser quand une racine est connue}
    Soit $P(z) = z^3 - 1$. On sait que $P(1) = 0$. Quelle
factorisation est correcte ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$}
        \item[B.] $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + 1)$
        \item[C.] $z^3 - 1 = (z - 1)^3$
        \item[D.] $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 - z + 1)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Nombre de racines et degré}
    Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au
maximum, un polynôme de degré $5$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] Une infinité
        \item[C.] $10$
        \item[D.] Exactement $5$, toujours
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Équation de degré 3 avec racine connue}
    L'équation $z^3 - z^2 + 3z + 5 = 0$ admet la racine $z =
-1$. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$}
        \item[B.] $z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$
        \item[C.] $z = 5$ et $z = -1$
        \item[D.] Aucune autre : $-1$ est la seule solution
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Racines $n$-ièmes de l'unité}
    Qu'appelle-t-on racines $n$-ièmes de l'unité ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les solutions complexes de l'équation $z^n = 1$}
        \item[B.] Les solutions de $z^n = 0$
        \item[C.] Les nombres $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, 1$
        \item[D.] Les solutions de $z^n = n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Racines cubiques de l'unité}
    Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{2i\pi/3}$
et $j^2$ (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique
de $j$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
  \draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) node[below] {$\mathrm{Re}$};
  \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.7) node[left] {$\mathrm{Im}$};
  \draw (0,0) circle (1);
  \draw[dashed] (1,0) -- (-0.5,0.866) -- (-0.5,-0.866) -- cycle;
  \fill (1,0) circle (1.5pt);
  \node[below right,font=\small] at (1,0) {$1$};
  \fill (-0.5,0.866) circle (1.5pt);
  \node[above left,font=\small] at (-0.5,0.866) {$j$};
  \fill (-0.5,-0.866) circle (1.5pt);
  \node[below left,font=\small] at (-0.5,-0.866) {$j^2$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}
        \item[B.] $j = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
        \item[C.] $j = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
        \item[D.] $j = -1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Racines quatrièmes de l'unité}
    Quelles sont les solutions de $z^4 = 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$, $i$, $-1$ et $-i$}
        \item[B.] $1$ et $-1$ seulement
        \item[C.] $1$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$
        \item[D.] $1$ et $i$ seulement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Somme des racines $n$-ièmes}
    Que vaut la somme $1 + j + j^2$ des trois racines cubiques
de l'unité ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $1$
        \item[C.] $3$
        \item[D.] $j^3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$}
    Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que traduit l'appartenance du quotient
$\dfrac{c - a}{b - a}$ à $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés}
        \item[B.] Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
        \item[C.] $ABC$ est équilatéral
        \item[D.] $B$ et $C$ sont confondus
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Racines de l'unité et polygones}
    Les images des racines $5$-ièmes de l'unité forment quelle
figure du plan complexe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, avec
un sommet en $1$}
        \item[B.] Un segment de l'axe réel
        \item[C.] Un pentagone régulier centré en $1$
        \item[D.] Cinq points au hasard sur le cercle unité
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Racines par paires conjuguées}
    Un polynôme à coefficients \textbf{réels} admet $2 + 3i$ comme
racine. Que peut-on affirmer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2 - 3i$ est aussi racine : les racines non réelles vont
par paires conjuguées}
        \item[B.] $-2 - 3i$ est aussi racine
        \item[C.] Rien : chaque racine est indépendante
        \item[D.] Le polynôme n'a que des racines complexes
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$}
    Quelles sont les solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ : les nombres $j$ et
$j^2$}
        \item[B.] $z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$
        \item[C.] $z = 1$ et $z = -1$
        \item[D.] Aucune : $\Delta < 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Factoriser $z^2 + 9$}
    Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\mathbb{C}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(z - 3i)(z + 3i)$}
        \item[B.] $(z + 3)(z - 3)$
        \item[C.] $(z + 3)^2$
        \item[D.] Il est irréductible : somme de carrés
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Combien de racines $n$-ièmes ?}
    Combien l'équation $z^n = 1$ a-t-elle de solutions
complexes ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Exactement $n$}
        \item[B.] Une seule : $z = 1$
        \item[C.] Deux : $z = 1$ et $z = -1$
        \item[D.] Une infinité
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Quotient imaginaire pur}
    $A$, $B$, $C$ sont trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que signifie « $\dfrac{c - a}{b - a}$ est
imaginaire pur (non nul) » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{L'angle en $A$ entre $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ est droit}
        \item[B.] Les points sont alignés
        \item[C.] Le triangle est équilatéral
        \item[D.] $AB = AC$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Résoudre $z^3 = 8$}
    Quelles sont les solutions complexes de $z^3 = 8$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2$, $2j$ et $2j^2$ (où $j = e^{2i\pi/3}$)}
        \item[B.] $2$ seulement
        \item[C.] $2$, $-2$ et $2i$
        \item[D.] $8$, $8j$ et $8j^2$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
