\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Dérivation}
\subtitle{QCM}
\author{Première spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Taux de variation}
    Soit $f$ une fonction et $a$, $h$ des réels ($h \neq 0$).
Comment s'écrit le taux de variation de $f$ entre $a$ et
$a + h$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$}
        \item[B.] $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h}$
        \item[C.] $f(a+h) - f(a)$
        \item[D.] $\dfrac{f(h) - f(a)}{h - a}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Le nombre dérivé}
    Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La pente de la tangente à la courbe de $f$ au point
d'abscisse $a$}
        \item[B.] La pente de la sécante entre $a$ et $a + 1$
        \item[C.] L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$
        \item[D.] L'aire sous la courbe jusqu'à $a$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Lire un nombre dérivé sur un graphique}
    Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la
courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\,;\,1)$. Que vaut
$f'(1)$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.72]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (3.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.15:2.15,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{\x*\x});
  \draw[domain=-0.55:2.75,thick,red] plot (\x,{2*\x-1});
  \fill (1,1) circle (0.08);
  \node[above left,font=\small] at (1,1) {$A$};
  \node[blue,font=\small] at (-1.95,4.25) {$\mathcal{C}_f$};
  \node[red,font=\small] at (3.15,4.15) {$T$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(1) = 2$}
        \item[B.] $f'(1) = 1$
        \item[C.] $f'(1) = -1$
        \item[D.] $f'(1) = \dfrac{1}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Équation de la tangente}
    Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = 2x - 1$}
        \item[B.] $y = 2x + 1$
        \item[C.] $y = x + 1$
        \item[D.] $y = 2x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Dérivée de la fonction inverse}
    Quelle est la dérivée de la fonction inverse
$f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$
        \item[C.] $f'(x) = -\dfrac{1}{x}$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Dérivée de la racine carrée}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$
        \item[C.] $f'(x) = 2\sqrt{x}$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Dériver un produit}
    Soit $f(x) = x^2\,(x + 3)$. Que vaut $f'(x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 3x^2 + 6x$}
        \item[B.] $f'(x) = 2x$
        \item[C.] $f'(x) = 2x(x + 3)$
        \item[D.] $f'(x) = 3x^2 + 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Dériver l'inverse d'une fonction}
    Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Que vaut $f'(x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$
        \item[C.] $f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2 + 1)^2}$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Approximation linéaire}
    En utilisant l'approximation $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$
avec $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 4$, quelle valeur approchée
obtient-on pour $\sqrt{4{,}1}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2{,}025$}
        \item[B.] $2{,}05$
        \item[C.] $2{,}1$
        \item[D.] $2{,}0025$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} La valeur absolue en 0}
    La fonction $x \mapsto |x|$ est-elle dérivable en $0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : le taux de variation vaut $1$ à droite de $0$ et
$-1$ à gauche}
        \item[B.] Oui, avec $f'(0) = 0$
        \item[C.] Oui, avec $f'(0) = 1$
        \item[D.] Non, car la fonction n'est pas continue en $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Vitesse instantanée}
    Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant
$t = 3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$ m/s}
        \item[B.] $9$ m/s
        \item[C.] $3$ m/s
        \item[D.] $2$ m/s
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Dérivée de $x^n$ pour $n$ négatif}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{-2}$ (définie pour
$x \neq 0$) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = -2x^{-3}$}
        \item[B.] $f'(x) = -2x^{-1}$
        \item[C.] $f'(x) = 2x^{-3}$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Dérivée de $3x^2$}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 6x$}
        \item[B.] $f'(x) = 3x$
        \item[C.] $f'(x) = 6x^2$
        \item[D.] $f'(x) = 2x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Dériver un polynôme}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 3x^2 - 10x$}
        \item[B.] $f'(x) = 3x^2 - 10x + 1$
        \item[C.] $f'(x) = x^2 - 5x$
        \item[D.] $f'(x) = 3x^2 - 5x^2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Dérivée d'une constante}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 0$}
        \item[B.] $f'(x) = 7$
        \item[C.] $f'(x) = 1$
        \item[D.] $f'(x) = 7x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Dériver un quotient}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
(pour $x \neq 2$) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 2)^2}$}
        \item[B.] $f'(x) = 3$
        \item[C.] $f'(x) = \dfrac{7}{(x - 2)^2}$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{-7}{x - 2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Tangente parallèle à une droite}
    Soit $f(x) = x^2$. En quel point la tangente à la courbe
est-elle parallèle à la droite $y = 4x - 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au point d'abscisse $2$, car $f'(x) = 2x = 4 \iff x = 2$}
        \item[B.] Au point d'abscisse $4$
        \item[C.] Au point d'abscisse $-7$
        \item[D.] Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Tangente qui descend}
    Sur un graphique, la tangente à la courbe de $f$ au point
d'abscisse $a$ descend (de gauche à droite). Que peut-on en
déduire ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(a) < 0$}
        \item[B.] $f(a) < 0$
        \item[C.] $f'(a) = 0$
        \item[D.] $a < 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Dérivée de $\dfrac{5}{x}$}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{5}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = -\dfrac{5}{x^2}$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{5}{x^2}$
        \item[C.] $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
        \item[D.] $f'(x) = 5\ln x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Produit : deux chemins, un résultat}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 4x - 5$}
        \item[B.] $f'(x) = 2$
        \item[C.] $f'(x) = 4x + 5$
        \item[D.] $f'(x) = 2x^2 - 5x - 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} La racine carrée en $0$}
    La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est-elle dérivable en $0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : le taux $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$
tend vers $+\infty$ : tangente verticale}
        \item[B.] Oui, avec $f'(0) = 0$
        \item[C.] Oui, car $f$ est définie en $0$
        \item[D.] Non, car $\sqrt{0}$ n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Estimer sans calculatrice}
    Soit $f(x) = x^2$. En utilisant l'approximation $f(a + h)
\approx f(a) + h\,f'(a)$, quelle estimation de $2{,}01^2$
obtient-on ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 \times 4 = 4{,}04$}
        \item[B.] $2{,}01^2 \approx 4$
        \item[C.] $2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 = 4{,}01$
        \item[D.] $2{,}01^2 \approx 4{,}4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} De la position à la vitesse}
    Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à $t = 3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$ m/s : la dérivée $d'(t) = 2t$ évaluée en $3$}
        \item[B.] $9$ m/s
        \item[C.] $3$ m/s : la vitesse moyenne depuis le départ
        \item[D.] $2$ m/s
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Dérivée de $x\sqrt{x}$}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\sqrt{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$}
        \item[B.] $f'(x) = \sqrt{x}$
        \item[C.] $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{2}{3}\sqrt{x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
