\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Probabilités conditionnelles et indépendance}
\subtitle{QCM}
\author{Première spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Définir l'indépendance}
    Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ (de probabilités
non nulles) sont \textbf{indépendants} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Lorsque $P_B(A) = P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne
change pas la probabilité de $A$}
        \item[B.] Lorsque $A \cap B = \varnothing$
        \item[C.] Lorsque $P(A) = P(B)$
        \item[D.] Lorsque $A$ et $B$ concernent deux expériences différentes
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Tester l'indépendance par le produit}
    On donne $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$ et
$P(A \cap B) = 0{,}15$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils
indépendants ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $P(A) \times P(B) = 0{,}15 = P(A \cap B)$}
        \item[B.] Non, car $P(A) \neq P(B)$
        \item[C.] Non, car $A \cap B$ n'est pas vide
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans arbre
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Incompatibles et indépendants ?}
    Deux événements $A$ et $B$ de probabilités \textbf{non nulles}
sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$). Peuvent-ils
être indépendants ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A)P(B) > 0$}
        \item[B.] Oui : ne pas pouvoir se produire ensemble, c'est être
indépendants
        \item[C.] Oui, si $P(A) = P(B)$
        \item[D.] Cela dépend de l'univers
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Formule des probabilités totales}
    L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes. Que
vaut $P(B)$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}32$}
        \item[B.] $P(B) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8$
        \item[C.] $P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$
        \item[D.] $P(B) = 0{,}6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Partition de l'univers}
    Que forment les événements $A$ et $\overline{A}$ (avec
$0 < P(A) < 1$) vis-à-vis de l'univers $\Omega$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une partition : ils sont incompatibles et leur réunion
est $\Omega$}
        \item[B.] Deux événements indépendants
        \item[C.] Deux événements équiprobables
        \item[D.] Le même événement écrit de deux façons
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Succession de deux épreuves indépendantes}
    On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. Quelle
est la probabilité d'obtenir un $6$ \textbf{et} pile ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{8}$
        \item[D.] $\dfrac{1}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Trois épreuves de Bernoulli}
    On lance trois fois de suite une pièce équilibrée (lancers
indépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois
pile ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[C.] $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
        \item[D.] $\dfrac{1}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Exactement un succès sur trois}
    On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre
$p = \dfrac{1}{2}$ (lancers de pièce). Quelle est la
probabilité d'obtenir \textbf{exactement un} pile ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{8}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[D.] $\dfrac{1}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Cohérence d'un arbre pondéré}
    Dans un arbre de probabilité, que vaut la somme des
pondérations des branches issues d'un même nœud ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Toujours $1$}
        \item[B.] Toujours $0{,}5$
        \item[C.] La probabilité du nœud de départ
        \item[D.] Cela dépend du niveau dans l'arbre
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Indépendance et événement contraire}
    Soient $A$ et $B$ indépendants. Les événements $A$ et
$\overline{B}$ sont-ils indépendants ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui : l'indépendance se transmet aux contraires}
        \item[B.] Non, jamais
        \item[C.] Seulement si $P(B) = 0{,}5$
        \item[D.] Ils deviennent incompatibles
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Retrouver une conditionnelle}
    On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}12$. Que vaut
$P_A(B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3$}
        \item[B.] $0{,}048$
        \item[C.] $0{,}12$
        \item[D.] $0{,}52$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Justifier l'indépendance dans un modèle}
    Dans quelle situation l'hypothèse d'indépendance entre deux
tirages successifs est-elle justifiée ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Tirage d'une boule, \textbf{remise} dans l'urne, second
tirage}
        \item[B.] Tirage d'une boule, puis d'une seconde \textbf{sans remise}
        \item[C.] Toute succession de deux tirages, par principe
        \item[D.] Aucune : deux tirages successifs ne sont jamais
indépendants
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Calculer une probabilité conditionnelle}
    On donne $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$. Que vaut
$P_A(B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}4$}
        \item[B.] $0{,}1$
        \item[C.] $0{,}2$
        \item[D.] $2{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Conditionnelle dans un tableau}
    Dans une classe : $12$ filles dont $9$ demi-pensionnaires,
$18$ garçons dont $9$ demi-pensionnaires. On choisit un
élève au hasard. Que vaut
$P_{\text{fille}}(\text{demi-pensionnaire})$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{9}{12} = 0{,}75$}
        \item[B.] $\dfrac{9}{30}$
        \item[C.] $\dfrac{9}{18}$
        \item[D.] $\dfrac{12}{30}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} La formule du produit}
    On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut
$P(A \cap B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}18$}
        \item[B.] $0{,}9$
        \item[C.] $0{,}5$
        \item[D.] $0{,}3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Probabilités totales en pratique}
    Un arbre donne : $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$,
$P(\bar{A}) = 0{,}7$, $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut
$P(B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}32$}
        \item[B.] $0{,}18$
        \item[C.] $0{,}8$
        \item[D.] $0{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Renverser le conditionnement}
    Avec les données précédentes ($P(A \cap B) = 0{,}18$ et
$P(B) = 0{,}32$), que vaut $P_B(A)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625$}
        \item[B.] $0{,}6$, comme $P_A(B)$
        \item[C.] $0{,}18$
        \item[D.] $1 - 0{,}6 = 0{,}4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Le paradoxe du test de dépistage}
    Une maladie touche $1\ \%$ de la population. Un test détecte
$99\ \%$ des malades, mais sonne à tort chez $5\ \%$ des
personnes saines. Une personne a un test positif : quelle
est environ la probabilité qu'elle soit malade ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Environ $\dfrac{1}{6}$ : les faux positifs des $99\ \%$
de sains noient les vrais positifs}
        \item[B.] $99\ \%$ : le test est fiable à $99\ \%$
        \item[C.] $95\ \%$
        \item[D.] $50\ \%$ : malade ou pas, deux cas équiprobables
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
