\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Calcul vectoriel et produit scalaire}
\subtitle{QCM}
\author{Première spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Produit scalaire en coordonnées}
    Dans un repère orthonormé du plan, on donne
$\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-4$}
        \item[B.] $8$
        \item[C.] $(2\,;\,-6)$
        \item[D.] $4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Caractériser l'orthogonalité}
    À quelle condition deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$}
        \item[B.] $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$
        \item[C.] $\vec{u} = -\vec{v}$
        \item[D.] $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Formule avec le cosinus}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 3$,
$\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre eux vaut
$\dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$}
        \item[B.] $12$
        \item[C.] $6\sqrt{3}$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Signe du produit scalaire}
    Que peut-on dire du signe de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ selon
l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs (non nuls) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Positif si $\theta$ est aigu, nul si $\theta$ est droit,
négatif si $\theta$ est obtus}
        \item[B.] Toujours positif, comme toute « multiplication » de
longueurs
        \item[C.] Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant
        \item[D.] Le signe dépend uniquement des normes
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Utiliser la bilinéarité}
    Sachant que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$, que vaut
$(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v})$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$18$}
        \item[B.] $6$
        \item[C.] $9$
        \item[D.] $3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$}
    Soient $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$. Que vaut
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$15$}
        \item[B.] $13$
        \item[C.] $25$
        \item[D.] $14$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Formule d'Al-Kashi}
    Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 3$, $AC = 4$ et
$\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $BC$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$BC = \sqrt{13}$}
        \item[B.] $BC = 5$
        \item[C.] $BC = \sqrt{37}$
        \item[D.] $BC = 13$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$}
    Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quel est
l'ensemble des points $M$ vérifiant
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Le cercle de diamètre $[AB]$}
        \item[B.] La médiatrice de $[AB]$
        \item[C.] La droite $(AB)$
        \item[D.] Le cercle de centre $A$ passant par $B$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Produit scalaire par les normes}
    Soient $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$ : les vecteurs sont orthogonaux}
        \item[B.] $12$
        \item[C.] $25$
        \item[D.] $5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Retrouver un angle}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que
$\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$, $\|\vec{u}\| = 2$ et
$\|\vec{v}\| = 6$. Que vaut l'angle $\theta$ entre les deux
vecteurs ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$}
        \item[B.] $\theta = \dfrac{\pi}{3}$
        \item[C.] $\theta = \dfrac{\pi}{2}$
        \item[D.] $\cos\theta = -6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Déterminer un paramètre}
    Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,k)$ et
$\vec{v}(2\,;\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$k = 6$}
        \item[B.] $k = -6$
        \item[C.] $k = \dfrac{3}{2}$
        \item[D.] $k = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$}
    Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Quelle transformation de
l'expression $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
est correcte (pour tout point $M$) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
\dfrac{AB^2}{4}$}
        \item[B.] $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 +
\dfrac{AB^2}{4}$
        \item[C.] $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MA^2 +
MB^2$
        \item[D.] $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
AB^2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Un produit scalaire en coordonnées}
    Soient $\vec{u}(3\ ;\ -1)$ et $\vec{v}(2\ ;\ 4)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2$}
        \item[B.] $10$
        \item[C.] $(6\ ;\ -4)$
        \item[D.] $14$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Norme d'un vecteur}
    Que vaut la norme du vecteur $\vec{u}(3\ ;\ 4)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\|\vec{u}\| = 5$}
        \item[B.] $\|\vec{u}\| = 7$
        \item[C.] $\|\vec{u}\| = 25$
        \item[D.] $\|\vec{u}\| = 12$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Produit scalaire de vecteurs colinéaires}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires \textbf{de même sens},
avec $\|\vec{u}\| = 2$ et $\|\vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10$}
        \item[B.] $-10$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Al-Kashi en action}
    Dans un triangle, $b = 3$, $c = 5$ et l'angle entre eux vaut
$60°$. Que vaut le côté opposé $a$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$a = \sqrt{19}$, car $a^2 = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5
\times \dfrac{1}{2}$}
        \item[B.] $a = \sqrt{34}$
        \item[C.] $a = \sqrt{49} = 7$
        \item[D.] $a = 2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Retrouver l'angle par le cosinus}
    Soient $\vec{u}(1\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(3\ ;\ 1)$. Que vaut
l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$45°$, car $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} =
\dfrac{1}{\sqrt{2}}$}
        \item[B.] $60°$
        \item[C.] $90°$
        \item[D.] $5°$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Produit scalaire par projection}
    $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$,
et $H$ appartient à la demi-droite $[AB)$. Que vaut
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$AB \times AH$}
        \item[B.] $AB \times AC$
        \item[C.] $AB \times HC$
        \item[D.] $0$, car $H$ est un projeté orthogonal
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Paramètre d'orthogonalité}
    Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ m)$ et
$\vec{v}(3\ ;\ -1)$ sont-ils orthogonaux ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$m = 6$}
        \item[B.] $m = -6$
        \item[C.] $m = \dfrac{2}{3}$
        \item[D.] Aucune valeur ne convient
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Produit scalaire par les normes}
    On connaît $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 2$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 4$. Que vaut $\vec{u} \cdot
\vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{3}{2}$, car $\vec{u} \cdot \vec{v} =
\dfrac{16 - 9 - 4}{2}$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $16$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle}
    Un triangle a pour côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Que
vaut l'angle $\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$60°$, car $\cos\widehat{A} = \dfrac{25 + 64 - 49}{2
\times 5 \times 8} = \dfrac{1}{2}$}
        \item[B.] $30°$
        \item[C.] $90°$
        \item[D.] Impossible sans les angles du triangle
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} L'ensemble $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$}
    $A$ est un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est
l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}
\cdot \vec{u} = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La droite passant par $A$ de vecteur \textbf{normal} $\vec{u}$}
        \item[B.] La droite passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$
        \item[C.] Le cercle de centre $A$
        \item[D.] Le seul point $A$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} L'identité du parallélogramme}
    Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 + \|\vec{u} -
\vec{v}\|^2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{v}\|^2$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $4\,\vec{u} \cdot \vec{v}$
        \item[D.] $2\|\vec{u}\|^2 - 2\|\vec{v}\|^2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Peut-on simplifier par $\vec{u}$ ?}
    On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$
avec $\vec{u} \neq \vec{0}$. Peut-on conclure $\vec{v} =
\vec{w}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : cela signifie seulement que $\vec{u} \perp
(\vec{v} - \vec{w})$}
        \item[B.] Oui : on simplifie par $\vec{u}$ comme avec des nombres
        \item[C.] Oui, si $\vec{u}$ est unitaire
        \item[D.] Non, sauf si $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont opposés
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
