\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Variables aléatoires réelles}
\subtitle{QCM}
\author{Première spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?}
    Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une
variable aléatoire réelle $X$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de
l'univers}
        \item[B.] Un nombre qui change tout le temps
        \item[C.] Un événement particulier
        \item[D.] Une probabilité comprise entre 0 et 1
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Compléter une loi de probabilité}
    La variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec
$P(X = -1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$. Que vaut
$P(X = 5)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}2$}
        \item[B.] $0{,}8$
        \item[C.] $0{,}5$
        \item[D.] On ne peut pas savoir
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Calculer une espérance}
    Avec la loi précédente ($-1$ avec $0{,}5$ ; $2$ avec
$0{,}3$ ; $5$ avec $0{,}2$), que vaut $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1{,}1$}
        \item[B.] $2$
        \item[C.] $6$
        \item[D.] $0{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Interpréter l'espérance}
    $X$ désigne le gain (en euros) à un jeu, avec $E(X) =
1{,}1$. Quelle interprétation est correcte ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie
est proche de $1{,}10$ euro}
        \item[B.] À chaque partie, on gagne exactement $1{,}10$ euro
        \item[C.] On gagne dans $1{,}1$ partie sur $2$
        \item[D.] Le gain le plus probable est $1{,}10$ euro
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Jeu équitable}
    Quand dit-on qu'un jeu d'argent est \textbf{équitable} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Lorsque l'espérance du gain algébrique (mise déduite) est
nulle}
        \item[B.] Lorsque toutes les issues sont équiprobables
        \item[C.] Lorsqu'on gagne une fois sur deux
        \item[D.] Lorsque la mise est faible
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Ce que mesure la variance}
    Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance
(moyenne des carrés des écarts)}
        \item[B.] La valeur moyenne de $X$
        \item[C.] La probabilité que $X$ dépasse sa moyenne
        \item[D.] La plus grande valeur possible de $X$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Formule de König-Huygens}
    Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut
$V(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $5$
        \item[C.] $45$
        \item[D.] $-3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} De la variance à l'écart-type}
    Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son
écart-type $\sigma(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $81$
        \item[C.] $9$
        \item[D.] $4{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Linéarité de l'espérance}
    Soit $X$ avec $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$13$}
        \item[B.] $10$
        \item[C.] $16$
        \item[D.] $25$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Variance de $aX + b$}
    Soit $X$ avec $V(X) = 2$. Que vaut $V(2X + 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$8$}
        \item[B.] $7$
        \item[C.] $4$
        \item[D.] $11$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Utiliser la notation $P(X \leq a)$}
    Avec la loi : $P(X = -1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$,
$P(X = 5) = 0{,}2$, que vaut $P(X \leq 2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}8$}
        \item[B.] $0{,}3$
        \item[C.] $0{,}2$
        \item[D.] $0{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Espérance d'une loterie}
    Une loterie vend $100$ billets à $1$ euro ; un seul billet
gagne un lot de $50$ euros. Soit $X$ le gain algébrique d'un
acheteur d'un billet. Que vaut $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-0{,}50$ euro : le jeu est défavorable au joueur}
        \item[B.] $+0{,}50$ euro
        \item[C.] $0$ : le jeu est équitable
        \item[D.] $-1$ euro
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Compléter une loi}
    $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =
0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}25$}
        \item[B.] $0{,}75$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] Impossible à déterminer
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Espérance d'un dé}
    $X$ est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut
$E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3{,}5$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $6$
        \item[D.] $21$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Espérance de $2X + 3$}
    $X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$13$}
        \item[B.] $10$
        \item[C.] $16$
        \item[D.] $2E(X) + 3X$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Gain net d'un jeu payant}
    Un jeu coûte $2$ euros. On gagne $10$ euros avec probabilité
$0{,}1$, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain \textbf{net}
(gain moins mise) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-1$ euro : le jeu est défavorable au joueur}
        \item[B.] $+1$ euro
        \item[C.] $0$ : le jeu est équitable
        \item[D.] $8$ euros
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Variance par König-Huygens}
    $X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec $P(X = 0) = P(X = 2)
= 0{,}5$. Que vaut $V(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$ : $E(X^2) - E(X)^2 = 2 - 1$}
        \item[B.] $0$ : la loi est symétrique
        \item[C.] $2$
        \item[D.] $-1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Même espérance, risques différents}
    Deux placements ont la même espérance de gain, mais le
placement A a un écart-type de $2$ euros et le placement B
de $50$ euros. Comment interpréter ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{B est beaucoup plus risqué : mêmes gains moyens, mais
résultats bien plus dispersés}
        \item[B.] B rapporte plus en moyenne
        \item[C.] A et B sont identiques : même espérance
        \item[D.] A est plus risqué : un petit écart-type cache des
surprises
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
