\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Variations et courbes représentatives}
\subtitle{QCM}
\author{Première spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Du signe de la dérivée aux variations}
    Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'(x) > 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ est strictement croissante sur $I$}
        \item[B.] $f$ est positive sur $I$
        \item[C.] $f$ est décroissante sur $I$
        \item[D.] $f$ est constante sur $I$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Étudier les variations par la dérivée}
    Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =
3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $[-1\,;\,1]$}
        \item[B.] Sur $]-\infty\,;\,-1]$
        \item[C.] Sur $[1\,;\,+\infty[$
        \item[D.] Nulle part : $x^3$ est toujours croissante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Tangentes horizontales}
    La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles
abscisses la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \draw[dashed,red] (-1.8,2) -- (-0.2,2);
  \draw[dashed,red] (0.2,-2) -- (1.8,-2);
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En $x = -1$ et $x = 1$}
        \item[B.] En $x = 0$
        \item[C.] En $x = -\sqrt{3}$ et $x = \sqrt{3}$
        \item[D.] Nulle part
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Fonction paire}
    Que signifie « $f$ est paire », et comment cela se traduit-il
sur sa courbe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées}
        \item[B.] $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par
rapport à l'origine
        \item[C.] $f(x) \geq 0$ pour tout $x$
        \item[D.] $f$ ne prend que des valeurs entières paires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Montrer qu'une fonction est impaire}
    Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Que vaut $f(-x)$, et qu'en
conclut-on ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la fonction est impaire}
        \item[B.] $f(-x) = x^3 - 3x = f(x)$ : la fonction est paire
        \item[C.] $f(-x) = -x^3 - 3x$ : la fonction n'est ni paire ni
impaire
        \item[D.] On ne peut rien dire sans la courbe
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Extremum et nombre dérivé}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ admettant un maximum
local en $x = a$. Que peut-on affirmer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale}
        \item[B.] $f'(a) > 0$
        \item[C.] $f(a) = 0$
        \item[D.] Réciproquement, $f'(a) = 0$ garantit toujours un extremum
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Construire les variations}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.
Quel est le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Croissante, car $f' \geq 0$ sur $[0\,;\,2]$}
        \item[B.] Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif
        \item[C.] Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans connaître $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Position relative de deux courbes}
    Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Pour étudier la position
relative de leurs courbes sur $[0\,;\,1]$, on calcule
$f(x) - g(x) = x(x - 1)$. Qu'en conclut-on ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$}
        \item[B.] $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$
        \item[C.] Les courbes ne se coupent jamais
        \item[D.] On doit comparer $f'$ et $g'$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Optimiser avec la dérivée}
    Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$. En
étudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$}
        \item[B.] Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$
        \item[C.] Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$
        \item[D.] Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Caractérisation des fonctions constantes}
    Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) = 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ est constante sur $I$}
        \item[B.] $f(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$
        \item[C.] $f$ n'a pas de tangente
        \item[D.] $f$ est affine de pente quelconque
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Établir une inégalité par une étude de fonction}
    Pour démontrer que $x^2 \geq 2x - 1$ pour tout réel $x$,
quelle démarche est la plus directe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Étudier le signe de la différence
$x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$}
        \item[B.] Vérifier l'inégalité pour $x = 0$, $1$ et $2$
        \item[C.] Comparer les dérivées : $2x$ et $2$
        \item[D.] Diviser les deux membres par $x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Le sommet retrouvé par la dérivée}
    Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. En quelle
abscisse la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En $x = -\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du
sommet de la parabole}
        \item[B.] En $x = -\dfrac{b}{a}$
        \item[C.] En $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
        \item[D.] Elle ne s'annule jamais si $\Delta < 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Comparer deux images sans calcul}
    $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comment se
comparent $f(2)$ et $f(5)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(2) < f(5)$}
        \item[B.] $f(2) > f(5)$
        \item[C.] $f(2) = f(5)$
        \item[D.] Impossible à dire sans l'expression de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Compter les solutions sur un tableau}
    Le tableau de variations de $f$ indique : croissante de
$-2$ à $4$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$, puis décroissante de $4$
vers $0$ sur $[1\ ;\ +\infty[$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Deux : une avant le sommet, une après}
        \item[B.] Une seule
        \item[C.] Aucune : $3$ n'apparaît pas dans le tableau
        \item[D.] Trois
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} De la courbe de $f'$ aux variations de $f$}
    La courbe de la \textbf{dérivée} $f'$ est au-dessus de l'axe des
abscisses sur $]-\infty\ ;\ 1[$ et en dessous après. Que
fait $f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ croît jusqu'à $x = 1$ puis décroît : maximum en $1$}
        \item[B.] $f$ est positive avant $1$, négative après
        \item[C.] $f$ décroît puis croît : minimum en $1$
        \item[D.] $f$ a une asymptote en $x = 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Minimum sur un intervalle fermé}
    Sur $[0\ ;\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =
3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$
sur $[0\ ;\ 4]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-1$, atteint en $x = 3$}
        \item[B.] $0$, la borne gauche de l'intervalle
        \item[C.] $2$, la dernière valeur du tableau
        \item[D.] $3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} La parité comme économie d'étude}
    Soit $f(x) = x^4 - x^2$. Pourquoi suffit-il de l'étudier
sur $[0\ ;\ +\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées}
        \item[B.] $f$ est impaire : symétrie par rapport à l'origine
        \item[C.] $f$ n'est pas définie pour $x < 0$
        \item[D.] On ne peut pas : il faut toujours étudier sur
$\mathbb{R}$ entier
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Courbe et droite $y = x$}
    Pour situer la courbe de $f$ par rapport à la droite $y =
x$, on étudie $g(x) = f(x) - x$. Si $g(x) > 0$ sur un
intervalle, que peut-on dire ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La courbe de $f$ est au-dessus de la droite sur cet
intervalle}
        \item[B.] La courbe est en dessous de la droite
        \item[C.] $f$ est croissante sur cet intervalle
        \item[D.] La courbe coupe la droite sur cet intervalle
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
